Cesko.wiki Iterační metoda
Author
Albert FloresVe výpočtové matematice je iterační metoda proces, který z počáteční aproximace konstruuje posloupnost přibližných řešení daného problému. Každá iterace přibližného řešení je konstruována z iterací předchozích.
Iterační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic
Pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic existují dvě hlavní skupiny iteračních metod - stacionární iterační metody a metody Krylovových podprostorů.
Stacionární iterační metody
Základní stacionární iterační metody vycházejí ze štěpení příslušné matice soustavy na {\displaystyle A=M-N}, přičemž matice M musí být jednoduše invertovatelná. Novou iteraci přibližného řešení spočítáme z předchozího jako \displaystyle x_{k+1}=M^{-1}(Nx_{k}+b)\,. +more Přesné řešení soustavy je pak pevným bodem tohoto zobrazení.
Metody Krylovových podprostorů
Metody Krylovových podprostorů jsou projekční metody založené na hledání přibližného řešení v Krylovových podprostorech rostoucí dimenze, tj. x_k \in x_0+ \text{span}\{r_0,Ar_0,\ldots,A^{k-1}r_0\}. +more Jednoznačnost tohoto přibližného řešení x_k dosáhneme dodatečnými podmínkami na příslušné residuum r_k = b - Ax_k. Zpravidla požadujeme buď minimalitu residua v eukleidovské normě, nebo ortogonalitu residua na prostor, ve kterém hledáme aproximaci x_k. Požadujeme-li ortogonalitu residua na prostor, na kterém hledáme přibližné řešení, jedná se o tzv. Galerkinovu metodu.