Lindelöfova pokrývací věta

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Lindelöfova pokrývací věta je matematické tvrzení, které se věnuje pokrytí prostoru pomocí kolekce otevřených množin. Tato věta je pojmenovaná po švédském matematikovi Ernstu Leonardu Lindelöfovi, který ji formuloval v roce 1908. Věta říká, že každý otevřený pokrytý prostor je Lindelöfovským prostorem, což znamená, že obsahuje spočetnou subbázi. Lindelöfův prostor je topologický prostor, ve kterém každá otevřená pokrytí obsahuje otevřenou podpokrytou, tedy kolekci otevřených množin z téhož prostoru, které pokryjí celý prostor. Pokrývací věta Lindelöfa přidává další podmínku k Lindelöfově definici, a to spočetnost subbáze. Subbáze je kolekce otevřených množin, ze kterých lze vytvářet otevřené množiny prostoru. Lindelöfova pokrývací věta se využívá v různých oblastech matematiky, například v teorii míry, analýze nebo topologii. Její formulace a důkaz jsou však poměrně složité a vyžadují znalosti pokročilé matematické teorie. V průběhu let bylo také formulováno několik různých ekvivalentních forem Lindelöfovy pokrývací věty.

Nechť (P, \rho) je metrický prostor a M \subset P separabilní množina. Existuje-li nespočetné pokrytí množiny M otevřenými množinami G_{\alpha}, pak z tohoto pokrytí lze vybrat spočetné podpokrytí.

Důkaz

Mějme tedy pokrytí M \subset \cup_{\alpha \in A} G_{\alpha}.

Ze separability M plyne existence spočetné množiny \{x_n\}, která je hustá v M. Zavedu systém okolí:

O:=\{U_{\frac{1}{m}}(x_n) | m, n \in \mathbf{N} | \exists \alpha \in A: U_{\frac{1}{m}}(x_n) \subset G_{\alpha} \}.

Zřejmě je množina O spočetná (protože je indexována přirozenými čísly). Dále O je pokrytím M, protože: * Zvolím libovolné x \in M a chci ukázat, že existují přirozená čísla n0 a m0 taková, že x \in U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0}). +more Nejprve tedy najdu takové \alpha \in A, že x \in G_{\alpha}. Protože G_{\alpha} je otevřená, vím, že existuje \epsilon > 0 takové, že U_{\epsilon}(x) \subset G_{\alpha}. Najdu tedy m0 takové, aby \frac{2}{m_0} . * Dále vím, že \{x_n\} je hustá v M, tedy existuje n0 přirozené takové, že x_{n_0} \in U_{\frac{1}{m_0}}(x), tedy x \in U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0}). * Tohle okolí je ale zvolené tak, že pro něj platí U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0}) \subset U_{\epsilon}(x) \subset G_{\alpha}, a tedy platí U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0}) \in O.

Pro každé U_{\frac{1}{m}}(x_n) \in O najdu \alpha_{m, n} tak, aby U_{\frac{1}{m}}(x_n) \subset G_{\alpha} a množinu těchto \alpha označím B. Množina B je spočetná (protože je indexována přirozenými čísly), a platí

\cup_{\alpha \in B} G_{\alpha} \supset M,

tedy mám spočetné pokrytí množiny M vybrané z nespočetného pokrytí.