Moment setrvačnosti

Ilustrace momentu setrvačnosti tyče ke kolmé ose Demonstrace zachování momentu hybnosti při změně momentu setrvačnosti Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti. Kvadratický moment průřezu se někdy také nazývá moment setrvačnosti a to i přesto, že není mírou setrvačnosti tělesa.

Značení

Symbol veličiny: J , někdy také I * Jednotka momentu setrvačnosti SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg·m2. V případě, že se počítá Kvadratický moment průřezu, tak má jednotku m4.

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost \omega všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech n hmotných bodů soustavy, tzn. :E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2, kde m_i je hmotnost i-tého hmotného bodu, v_i je velikost jeho rychlosti, r_i je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. +more v = \omega r. Předchozí vztah lze upravit na tvar :E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2, kde veličina J představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem :J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2.

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah :I = \int_M r^2 \mathrm{d}m, kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti M.

Je-li \rho hustota tělesa, pak \mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V, kde V je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru :I = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V Integruje se přes objem celého tělesa V.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. \rho = \mbox{konst.}, je možné předchozí vztah zjednodušit :I = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa M a čtverce jisté střední vzdálenosti R, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa. :J = MR^2

Vzdálenost R = \sqrt{\frac{J}{M}} se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

* Moment setrvačnosti tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem délky tyče, kolmo k její délce. :J = \frac{1}{12}m l^2

* Moment setrvačnosti tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce. :J = \frac{1}{3}m l^2

* Moment setrvačnosti koule o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem koule. :J = \frac{2}{5}mr^2

* Moment setrvačnosti plného válce o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti. :J = \frac{1}{2}mr^2

* Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru r_1 a vnějším poloměru r_2 a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti. :J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)

* Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti. :J = mr^2

* Moment setrvačnosti obdélníku o rozměrech a a b a hmotnosti m vzhledem k normále od středu obdélníku. :J=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)

Steinerova věta

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn. :J = J_0 + m r_T^2, kde J_0 je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, m je hmotnost tělesa a r_T je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy S úhlovou rychlostí \mathbf{\omega}, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu :E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i

\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i

^2, kde J_S je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose S, v_i je rychlost i-tého hmotného bodu soustavy, a \mathbf{r}_i je polohový vektor i-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa S.

Vektor \mathbf{\omega}, který směřuje podél osy S lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek \omega_x, \omega_y, \omega_z vzhledem k souřadnicovým osám x, y, z. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru :E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right] a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě :2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz :E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}, kde :J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i :J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i :J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám x, y, z a :D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i :D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i :D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i jsou deviační momenty.

Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme :J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m :J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m :J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m Pro deviační momenty získáme podobně vztahy :D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m :D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m :D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m

Vektor \mathbf{\omega}, který leží v ose S je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. \cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}, kde \omega je velikost vektoru \mathbf{\omega}. +more Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti J_S vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami x, y, z úhly \alpha, \beta, \gamma :J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta Změní-li se směr osy S vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti J_S. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.

Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti: : \mathbf{J} = \int{ \left( \mathbf{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}, kde symbol \otimes představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Kvadratický moment průřezu (tzv. plošný moment setrvačnosti)

Kvadratický moment průřezu resp. kvadratický moment plochy (nesprávně nazývaný jako plošný moment setrvačnosti, neboť tento se setrvačností těles nemá nic společného) se využívá velmi často v mechanice např. +more při výpočtu průhybů nosníků, napětí, ztrátě stability atp.

U kvadratického momentu průřezu se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme z=0. +more Hmotnostní element \mathrm{d}m je pak \sigma\mathrm{d}S, kde \sigma je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na x a y).

Kvadratické momenty plochy k osám x, y jsou tedy :J_x = \int_S y^2\sigma\mathrm{d}S :J_y = \int_S x^2\sigma\mathrm{d}S Z deviačních momentů je nenulový pouze :D_{xy} = \int_S xy\sigma\mathrm{d}S

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na :J_x = \sigma\int_S y^2\mathrm{d}S :J_y = \sigma\int_S x^2\mathrm{d}S :D_{xy} = \sigma\int_S xy\mathrm{d}S

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.

Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom kvadratické momenty ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou :J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m :J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m :J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám x, y, z pak platí :J_x = J_{xy} + J_{zx} :J_y = J_{xy} + J_{yz} :J_z = J_{yz} + J_{zx}

Polární kvadratický moment plochy (plošný moment setrvačnosti)

Kvadratické momenty plochy můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární kvadratický moment.

Polární kvadratický moment části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy [0,0]) je :J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\sigma\mathrm{d}S = \int_S r^2\sigma\mathrm{d}S

Odkazy

Literatura

Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání) * Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. +more ed. , Pergamon Press. (hardcover) and (softcover). * Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed. , Addison-Wesley. * Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed. , Addison-Wesley. * Online výpočet [url=http://e-konstrukter. cz/technicke-vypocty/13-moment-setrvacnosti]momentu setrvačnosti[/url] základních těles.

Související články

Mechanika * Mechanika tuhého tělesa * Steinerova věta * Metr na čtvrtou

Externí odkazy

Kategorie:Dynamika