Newtonovy–Cotesovy vzorce

Newtonův-Cotesův vzorec pro n = 2 Newtonovy-Cotesovy vzorce nebo Newtonova-Cotesova (kvadraturní) pravidla je v numerické matematice skupina vzorců pro numerickou integraci (kvadraturu) založenou na hodnotách integrandu ve stejně vzdálených bodech. Metoda je pojmenována po Isaacu Newtonovi a Rogeru Cotesovi.

Newtonovy-Cotesovy vzorce mohou být užitečné, jestliže jsou dány hodnoty integrandu v bodech, které jsou stejně vzdálené. Pokud je možné změnit body, v nichž se integrand vyčísluje, pak jsou pravděpodobně vhodnější jiné metody, např. +more Gaussovo kvadraturní pravidlo nebo Clenshawova-Curtisova kvadratura.

Popis

Předpokládejme, že hodnota funkce f definované na uzavřeném intervalu \langle a, b\rangle je známa ve stejně vzdálených bodech xi, pro i = 0, . , n, kde x0 = a a xn = b. +more Existují dva typy Newtonových-Cotesových vzorců, „uzavřený“ typ, který používá funkční hodnoty ve všech bodech, a „otevřený“ typ, který nepoužívá funkční hodnoty v koncových bodech. Uzavřené Newtonovy-Cotesovy vzorce stupně n mají tvar.

: \int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)

kde xi , velikost kroku h je rovna (xn − x0) / n . Hodnoty wi se nazývají váhy.

Jak je vidět v následujícím odvození, váhy jsou odvozené z Lagrangeových interpolačních polynomů. Nezávisejí na funkci f, ale pouze na xi. +more Nechť L(x) jsou interpolační polynom v Lagrangeově tvaru pro dané datové body (x0, f(x0) ), …, (xn, f(xn) ), pak.

: \int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx = \int_a^b \left( \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x) \right) \, dx = \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.

Otevřené Newtonovy-Cotesovy vzorec stupně n mají tvar

: \int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n-1} w_i\, f(x_i).

váhy lze spočítat podobným způsobem jako u uzavřených vzorců.

Nestabilita u vzorců vysokého stupně

Je možné zkonstruovat Newtonův-Cotesův vzorec jakéhokoli stupně n. Ale pro velká n Newtonovo-Cotesovo pravidlo může někdy trpět katastrofickým Rungeho jevem, kdy chyba pro velká n roste exponenciálně. +more Metody jako Gaussovo kvadraturní pravidlo a Clenshawova-Curtisova kvadratura s nestejně vzdálenými body (zahuštěné v blízkosti koncových bodů integračního intervalu) jsou stabilní a mnohem přesnější a jsou obvykle upřednostňovány před Newtonovou-Cotesovou metodou. Pokud tyto metody nelze použít, protože hodnoty integrované funkce jsou známy pouze v pevných, stejně vzdálených bodech, pak se lze Rungeho jevu vyhnout pomocí složeného pravidla, jak je vysvětleno níže.

Alternativně lze stabilní Newtonovy-Cotesovy vzorce zkonstruovat pomocí aproximace metodou nejmenších čtverců místo interpolace. To umožňuje vytvářet vzorce, které jsou i v případě vysokého stupně numericky stabilní.

Uzavřené Newtonovy-Cotesovy vzorce

Následující tabulka shrnuje Newtonovy-Cotesovy vzorce uzavřeného typu. Pro 0 \le i \le n, -tého stupně, kde x_i = a + i\tfrac{b-a}{n} = a+ih, a f_i je zkratka za f(x_i).

1	b-a	Lichoběžníková metoda	\frac{h}{2} (f_0 + f_1)	-\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi)
2	\frac{b-a}{2}	Simpsonova metoda	\frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2)	-\frac{1}{90}h^5f^{(4)}(\xi)
3	\frac{b-a}{3}	Simpsonova 3/8 metoda	\frac{3h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)	-\frac{3}{80}h^5f^{(4)}(\xi)
4	\frac{b-a}{4}	Booleovo pravidlo	\frac{2h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)	-\frac{8}{945}h^7f^{(6)}(\xi)

Kvůli kopírování typografické chyby z často používané referenční publikace od Abramowitze a Steguna je Booleovo pravidlo často nesprávně nazýváno Bodeovo pravidlo.

Exponent velikosti intervalu b − a v chybovém členu ukazuje rychlost, s níž se snižuje aproximační chyba. Stupeň derivace funkce f v chybovém členu udává maximální stupeň polynomů, které jsou tímto pravidlem aproximovány přesně (tj. +more s chybou rovnou nule). Pamatujte, že derivace funkce f v chybovém členu se zvyšuje o 2 pro každé další pravidlo. Číslo \xi musí být z intervalu (a, b).

Otevřené Newtonovy-Cotesovy vzorce

Následující tabulka shrnuje Newtonovy-Cotesovy vzorce otevřeného typu. Opět je f_i zkratka za f\left(x_i\right), kde x_i = a + i \left(\frac{b - a}{n}\right), a je stupeň metody.

2	\frac{b-a}{2}	Obdélníková metoda pro středy intervalů	2h f_1\,	\frac{1}{3}h^3f^{(2)}(\xi)
3	\frac{b-a}{3}	Lichoběžníková metoda	\frac{3}{2}h (f_1 + f_2)	\frac{1}{4}h^3f^{(2)}(\xi)
4	\frac{b-a}{4}	Milneho pravidlo	\frac{4}{3}h (2 f_1 - f_2 + 2 f_3)	\frac{28}{90}h^5f^{(4)}(\xi)
5	\frac{b-a}{5}		\frac{5}{24}h (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4)	\frac{95}{144}h^5f^{(4)}(\xi)

Složená pravidla

Aby Newtonova-Cotesova pravidla poskytovala dostatečně přesný výsledek, musí být velikost kroku h malá, což znamená, že interval integrace \langle a, b\rangle musí být také malý, což obvykle není. Z tohoto důvodu se numerická integrace obvykle provádí po rozdělení intervalu \langle a, b\rangle na menší podintervaly, na které se aplikuje Newtonova-Cotesovo pravidlo na každém podintervalu a dílčí výsledky se sečtou. +more Tento postup se nazývá složené pravidlo. Viz numerická integrace.

Odkazy

Reference

Literatura

M. Abramowitz a I. +more A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Section 25. 4. ) * George E. Forsythe, Michael A. Malcolm a Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (Section 5. 1. ) * * Josef Stoer a Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (Section 3. 1. ).

Související články

Kvadratura (matematika) * Rungeho jev * Interpolace * Interpolace pomocí spline funkcí

Externí odkazy

[url=http://www. math-linux. +morecom/spip. php. article74]Newtonovy-Cotesovy vzorce[/url] na www. math-linux. com * * [url=http://www. numericalmathematics. com/integration_and_differentiation. htm]Newton-Cotes Integration[/url] na webu numericalmathematics. com.

Kategorie:Numerická integrace