Cesko.wiki Nutná a postačující podmínka
Author
Albert FloresV logice mohou mezi dvěma souvisejícími tvrzeními (větami, výroky) existovat vztahy, pro které se používají zažitá označení nutná, resp. postačující podmínka.
* Tvrzení A je nutnou podmínkou pro jiné tvrzení B, pokud B nemůže platit, aniž by platilo A. Jinak řečeno, B platí jen tehdy, pokud platí A. +more Věta „X je čtyřúhelník“ je nutná podmínka pro to, aby mohlo platit, že „X je čtverec“. Pokud X není čtyřúhelník, nemůže to být čtverec. (Není to však podmínka postačující, protože například lichoběžník je čtyřúhelník, ale není čtverec. ) Říkáme, že B implikuje A a zapisujeme jako B \Rightarrow A, případně A \Leftarrow B. * Tvrzení A je postačující podmínkou pro jiné tvrzení B, pokud B platí vždy, když platí A. Jinak řečeno, B platí tehdy, když platí A. Věta „X je čtverec“ je postačující podmínka k tomu, aby platilo, že „X je čtyřúhelník“. (Není to však podmínka nutná: kosočtverec není čtverec, a přesto je čtyřúhelník. ) Říkáme, že A implikuje B a zapisujeme jako A \Rightarrow B. * Tvrzení A je nutnou i postačující podmínkou pro tvrzení B, pokud B platí tehdy a jen tehdy (právě tehdy), když platí A. Věta „X je čtverec“ platí tehdy a jen tehdy, pokud platí, že „X je rovnostranný pravoúhlý čtyřúhelník“. Obě tvrzení tedy platí vždy společně a jejich vztah lze obrátit. Říkáme, že A je ekvivalentní B, případně, že A implikuje B a B implikuje A a zapisujeme A \Leftrightarrow B.
Příklady
Nutná podmínka
Nutnou podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, že číslo musí být sudé. V tomto případě je podmínkou, že číslo je sudé (tzn. +more věta A). Číslo je dělitelné šesti představuje větu B.
Avšak každé číslo dělitelné šesti je také dělitelné dvěma, tedy je sudé. Tzn. +more pokud je splněna věta B (číslo je dělitelné šesti), je vždy splněna věta A (číslo je sudé). Věta A (číslo je sudé) je tedy nutnou podmínkou věty B (číslo je dělitelné šesti).
Každé sudé číslo však nemusí být dělitelné číslem šest (např. číslo 4). +more Pokud je tedy splněna věta A (číslo je sudé), nemusí být splněna věta B (číslo je dělitelné šesti). Věta A tedy není postačující podmínkou věty B.
Postačující podmínka
Postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, může být např. podmínka, že číslo musí být dělitelné dvanácti. +more Číslo je dělitelné dvanácti představuje větu A, a číslo je dělitelné šesti větu B.
Každé číslo dělitelné dvanácti je také dělitelné šesti, tzn. pokud je splněna věta A (číslo je dělitelné dvanácti), je splněna také věta B (číslo je dělitelné šesti). +more Věta A je tedy postačující podmínkou věty B.
Je-li však splněna věta B (číslo je dělitelné šesti), nemusí být splněna věta A (číslo je dělitelné dvanácti). Takovými čísly jsou např. +more 6, 18 atd. Věta A tedy není nutnou podmínkou věty B.
Nutná a postačující podmínka
Nutnou a postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, aby číslo bylo sudé a dělitelné třemi. Podmínkou (větou A) je zde, že číslo musí být sudé a dělitelné třemi, číslo je dělitelné šesti je věta B.
Je-li číslo dělitelné dvěma i třemi, pak je také dělitelné šesti. Současně platí, že číslo dělitelné šesti je dělitelné dvěma a třemi. +more Pokud tedy platí věta A (číslo je sudé a dělitelné třemi), musí platit také věta B (číslo je dělitelné šesti).
Věta A je tedy postačující podmínkou věty B. Platí-li však věta B (číslo je dělitelné šesti), pak platí také věta A (číslo je sudé a dělitelné třemi).
Věta A je tedy také nutnou podmínkou věty B. Tzn. +more věta A je nutnou a postačující podmínkou věty B. Uvedenou podmínku můžeme slovně vyjádřit tak, že číslo je dělitelné šesti tehdy a pouze tehdy, je-li sudé a dělitelné třemi.
Odkazy
Související články
Kauzalita * Logika * Matematická logika
Literatura
Ottův slovník naučný, heslo Hypothesa. Sv. 11, str. 1057
Externí odkazy
[url=http://plato.stanford.edu/entries/necessary-sufficient/]Stanford encyclopedia of philosophy, heslo Necessary and sufficient conditions[/url] (anglicky)