Opačná kategorie

Technology

12 hours ago

Author

Opačná kategorie je pojem, který se vyskytuje zejména v matematice, logice a informatice. Označuje kategorii, která je ve vztahu opačnosti s jinou kategorií. Opačná kategorie je definována tak, že obsahuje všechny prvky, které nejsou obsaženy v dané kategorii, a neobsahuje žádné prvky, které jsou obsaženy v dané kategorii. Tento koncept se používá například při definování binárních operací, při vytváření funkčních a relačních symbolů nebo při konstrukci protikladů v jazyce. Opačná kategorie je důležitým pojmem pro porozumění logickým a matematickým vědám.

V teorii kategorií, oboru matematiky, je opačná kategorie či duální kategorie \mathcal{C}\,^{\rm{op}}dané kategorie \mathcal{C} utvořena obrácením morfismů, tj. výměnou zdroje a cíle každého morfismu. Dvojnásobná výměna dává původní kategorii, takže opak opačné kategorie je původní kategorie. Symbolicky: \left(\mathcal{C}\,^{\rm{op}}\right)^{\rm{op}} = \mathcal{C}.

Příklady

Příkladem je obrácení směru nerovností v částečném uspořádání. Tedy pokud X je množina a ≤ relace částečného uspořádání, můžeme definovat nový vztah částečného uspořádání ≤op jako

::x ≤op y, právě když y ≤ x.

: Toto nové uspořádání se běžně nazývá duální uspořádání k ≤ a je většinou značeno symboly jako například ≥. Proto hraje dualita důležitou roli v teorii uspořádání a každý koncept z teorie uspořádání má koncept duální. +more Například existují opačné dvojice dítě/rodič, potomek/předek, infimum/supremum, dolní množina/horní množina, ideál/filtr apod. Tyto duality v teorii uspořádání jsou zase zvláštními případy konstrukce opačných kategorií, protože každou uspořádanou množinu lze chápat jako kategorii.

* Pro danou pologrupu \left(S, *\right)se obvykle opačná pologrupa definuje jako \left(S, *\right)^{\rm{op}} = \left(S, \cdot\right)\. , kde x \cdot y \equiv y * x pro každá x, y \in S. +more Takže i pro pologrupy platí princip duality. Je zřejmé, že stejná konstrukce funguje i pro grupy a je známa také v teorii okruhů, kde se aplikuje na multiplikativní pologrupu okruhu, čímž se zkonstruuje opačný okruh. I zde lze tento proces popsat rozšířením pologrupy na monoid, přičemž se vezme příslušná opačná kategorie a nakonec se z toho monoidu případně odstraní jednotka. * Kategorie booleovských algeber a booleovských homomorfismů je ekvivalentní k opaku kategorie Stoneových prostorů a spojitých funkcí. * Kategorie afinních schémat je ekvivalentní k opaku kategorie komutativních okruhů. * Pontryaginova dualita se omezuje na ekvivalenci mezi kategorií kompaktních Hausdorffových abelovských topologických grup a opakem kategorie (diskrétních) abelovských grup. * Podle Gelfandovy-Neumarkovy věty je kategorie lokalizovatelných měřitelných prostorů (s měřitelnými funkcemi) ekvivalentní s kategorií komutativních Von Neumannových algeber (s normálními unitálními homomorfismy *-algeber).