Cesko.wiki Platónské těleso
Author
Albert FloresPlatónské těleso je v geometrii pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.
Trojrozměrných platónských těles je pět:
Tetrahedron. svg|Čtyřstěn Hexahedron. +moresvg|Krychle (pravidelný šestistěn) Octahedron. svg|Osmistěn POV-Ray-Dodecahedron. svg|Dvanáctistěn Icosahedron. svg|Dvacetistěn.
Tabulka vlastností platónských těles
Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:
| Název | Obrázek | Počet stěn | Počet hran | Počet vrcholů | Typ stěny | Počet hran u vrcholu | Povrch (hrana délky a) | Objem (hrana délky a) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pravidelný čtyřstěn (tetraedr) | Tetrahedron | 4 | 6 | 4 | trojúhelník | 3 | \sqrt{3}a^2 | \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 |
| Krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr) | +morejpg|50px'>Hexahedron (cube) | 6 | 12 | 8 | čtverec | 3 | 6a^2 | a^3 |
| Pravidelný osmistěn (oktaedr) | Octahedron | 8 | 12 | 6 | trojúhelník | 4 | 2\sqrt{3}a^2 | \frac{\sqrt{2}}{3}a^3 |
| Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr) | Dodecahedron | 12 | 30 | 20 | pětiúhelník | 3 | 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2 | \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3 |
| Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr) | Icosahedron | 20 | 30 | 12 | trojúhelník | 5 | 5\sqrt{3}a^2 | \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3 |
Dualismus
Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. +more Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).
Historie
Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427-347 př. +more n. l. ), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.
Eukleidés sepsal kompletní matematický popis platónských těles ve svých Základech, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Tvrzení 13-17 v knize XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. +more Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kulové plochy s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohostěny neexistují.
Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. +more Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.
Přírodní vědy
Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. +more krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod. ). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula fluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.
Vyšší dimenze
Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.
* Ve čtyřrozměrném prostoru jich je šest: 5nadstěn, teserakt, 16nadstěn, 24nadstěn, 120nadstěn, 600nadstěn. * V prostorech dimenze vyšší než čtyři existují vždy právě tři pravidelné mnohostěny: zobecnění čtyřstěnu, zobecnění krychle a její duální těleso - zobecnění osmistěnu.
Odkazy
Poznámky
Reference
Související články
Polopravidelná tělesa * Čtyřrozměrná platónská tělesa * n-rozměrná platónská tělesa * Archimédovské těleso
Externí odkazy
http://www.darius.cz/ag_nikola/cl_dvanacti.html * http://telesa.wz.cz (databáze těles)