Reissnerova–Nordströmova metrika

Reissnerova-Norströmova metrika je ve fyzice a astronomii statické řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, odpovídající gravitačnímu poli nabitého, nerotujícího, sféricky symetrického tělesa o hmotnosti M.

Metrika byla objevena německým fyzikem Hansem Reissnerem a finským fyzikem Gunnarem Nordströmem.

Čtveřici podobných řešení lze shrnout do následující tabulky:

kde Q reprezentuje elektrický náboj a J reprezentuje moment hybnosti.

Metrika

Ve sférických souřadnicích (t, r, θ, φ), je lineární element Reissnerovy-Nordströmovy metriky

: ds^2 = \left( 1 - \frac{r_\mathrm{S}}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right) c^2\, dt^2 -\left( 1 - \frac{r_\mathrm{S}}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right)^{-1} dr^2 - r^2\, d\Omega^2_{(2)},

kde c je rychlost světla, t je časová souřadnice (měřeno podle stacionárních hodin v nekonečnu), r je radiální souřadnice, \textstyle d\Omega^2_{(2)} je dvousféra definovaná podle

: d\Omega^2_{(2)}=d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2

rS je Schwarzschildův poloměr tělesa daný : r_{s} = \frac{2GM}{c^2},

a rQ je charakteristická délková škála daná : r_{Q}^{2} = \frac{Q^2 G}{4\pi\varepsilon_{0} c^4}.

Zde 1/4πε0 je Coulombův zákon. V limitě kde náboj Q (nebo v ekvivalentním případě, délková škála rQ) klesne na nulu, používáme Schwarzschildovu metriku. +more Klasická Newtonova teorie gravitace může být získána v limitním případě, když poměrrS/r jde k nule. V limitě, kde oba poměry rQ/r a rS/r jdou k nule, dostáváme Minkowského metriku pro speciální teorii relativity.

V praxi je poměr rS/r často extrémně malý. Například Schwarzschildův poloměr Země je zhruba 9 milimetrů, zatímco geostacionární dráha na níž obíhají některé družice má poloměr r který je zhruba 4 miliardkrát větší, tedy 42 164 kilometrů. +more I na povrchu Země činí v tomto případě oprava Newtonovy gravitace jen jeden díl z miliardy. Poměr se stává velkým jen v blízkosti masivních a ultra hustých objektů jako jsou černé díry a neutronové hvězdy.

Nabité černé díry

Ačkoli se nabité černé díry s rQ ≪ rS podobají Schwarzschildovým černým dírám, mají dva horizonty: vnější horizont událostí a vnitřní Cauchyho horizont. Stejně jako v případě Schwarzschildovy metriky, horizont událostí pro prostoročas je umístěn tam, kde metrický komponent grr diverguje; což je když

: 0 = 1/g^{rr} = 1 - \frac{r_\mathrm{S}}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2}.

Tato rovnice má dvě řešení:

: r_\pm = \frac{1}{2}\left(r_{s} \pm \sqrt{r_{s}^2 - 4r_{Q}^2}\right).

Tyto soustředné horizonty událostí se stávají degenerovanými pro 2rQ = rS, což odpovídá extrémní černé díře. Předpokládá se, že černé díry s 2rQ > rS v přírodě neexistují, protože by obsahovaly takzvané nahé singularity. +more Jejich existence by byla v rozporu s hypotézou kosmické cenzury formulovanou Rogerem Penrosem o níž se, i přes absenci přímých důkazů, předpokládá, že je pravdivá. Teorie se supersymetrií obvykle garantují, že tyto superextrémní černé díry nemohou existovat.

Elektromagnetický potenciál je

:A_{\alpha} = \left(Q/r, 0, 0, 0\right).

Pokud jsou v teorii zahrnuty magnetické monopóly, potom zobecnění zahrnující magnetický náboj P se získá nahrazením Q2 podle Q2 + P2 v metrice a včetně podmínky Pcos θ dφ v elektromagnetickém potenciálu.

Reference

Kategorie:Relativistická fyzika Kategorie:Černé díry