Substituce (matematika)

Technology

12 hours ago

Author

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější).

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce: # 2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0 # Zavedeme substituci a = 2^{x}: a^{2} + a - 6 = 0 # Vypočítáme kvadratickou rovnici: a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2

a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 # Nyní si můžeme napsat 2 rovnice: ## 2 = 2^x ## -3 = 2^x # Vyřešíme obě rovnice: ## 2 = 2^x ### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo 2 se dá napsat jako 2^1: 2^1 = 2^x ### 1 = x ### Výsledek je: x = 1 Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce. ## -3 = 2^x Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit (alespoň mimo komplexní čísla, jinak je odpověď \frac{i {\pi}+ln(3)}{ln(2)}).

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce: # (\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0 # Zavedeme substituci a = \sin x, takže dostaneme a^2 + 2a - 3 = 0 # Vypočítáme kvadratickou rovnici: a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 # Nyní si můžeme napsat 2 rovnice: ## \sin x = 1 ## \sin x = -3 # Vyřešíme obě rovnice: ## \sin x = 1 x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi ## \sin x = -3 rovnice nemá reálné řešení Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.