Exponenciální rovnice

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli).

Příklad exponenciální rovnice:

2^{3 - x}=4^{2 - x}

Řešení exponenciální rovnice

Stejné základy

V případě, že máme na obou stranách stejné základy mocniny (mocněnce), jde o nejjednodušší způsob řešení exponenciální rovnice.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

# 2^{3 - x}=4^{2 - x} # Základ 4 se dá napsat jako 2^2 2^{3 - x}=2^{2(2 - x)} # Nyní máme stejné základy na obou stranách rovnice, takže to lze napsat následovně: 3 - x = 2(2 - x) # Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici: 3 - x = 4 - 2x # -x + 2x = 4 - 3 # x = 1 Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí stejného základu.

Logaritmování

V případě, že nemáme mít na obou stranách stejné základy, se rovnice řeší zlogaritmováním.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

# 2^{3 - x}=4^{2 - x} # Zlogaritmujeme rovnici: \log 2^{3 - x}=\log 4^{2 - x} # Využijeme větu o logaritmech - přesuneme exponenty před logaritmus: (3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4 # Vynásobíme závorky s logaritmem: 3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4 # Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice: - x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2 # Vytkneme x: x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2 # Připravíme si rovnici k vyřešení a dopočítáme: x=\frac{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}{-\log 2 + \log 4} = \frac{\log 4^2 - \log 2^3}{-\log 2 + \log 4} = \frac{\log 16 - \log 8}{-\log 2 + \log 4} # Řešení rovnice je: x = 1 Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí logaritmu.

Substituce

Řešit exponenciální rovnici lze také pomocí substituce.

Příklad postupu řešení:

# 2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0 # Zavedeme substituci a = 2^{x}: a^{2} + a - 6 = 0 # Vypočítáme kvadratickou rovnici: a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2

a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 # Nyní si můžeme napsat 2 rovnice: ## 2 = 2^x ## -3 = 2^x # Vyřešíme obě rovnice: ## 2 = 2^x ### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo 2 se dá napsat jako 2^1: 2^1 = 2^x ### 1 = x ### Výsledek je: x = 1 Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce. ## -3 = 2^x Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.