Trigonometrický polynom

Technology

12 hours ago

Author

Trigonometrický polynom je speciální druh polynomu, který je složený pouze z trigonometrických funkcí - sinus a kosinus. Ve vrcholu svojí popularity byl v 18. a 19. století, kdy měl široké uplatnění při řešení matematických problémů a diferenciálních rovnic. Trigonometrické polynomy mají mnoho zajímavých vlastností a jsou klíčovým prvkem v matematické analýze a fyzice. V článku jsou popsány základní vlastnosti trigonometrických polynomů, jejich použití a souvislosti s jinými oblastmi matematiky. Dále je vysvětleno, jak se trigonometrické polynomy odlišují od jiných typů polynomů a jakým způsobem se dají aproximovat jiné funkce pomocí trigonometrických polynomů. Kromě toho jsou diskutovány i některé konkrétní příklady trigonometrických polynomů a jejich význam v různých vědeckých disciplínách.

Trigonometrický polynom je v matematice konečná lineární kombinace funkcí sin(nx) a cos(nx) pro přirozená n. Při omezení se na reálné funkce lze pracovat s reálnými koeficienty; v případě komplexních koeficientů není žádný rozdíl mezi takovou funkcí a konečnou Fourierovou řadou.

Trigonometrické polynomy se často používají v numerické matematice a matematické analýze, například při interpolaci periodických funkcí pomocí trigonometrické interpolace. Používají se také pro diskrétní Fourierovu transformaci.

V oboru reálných čísel lze termín trigonometrický polynom považovat za použití analogie: funkce sin(nx) a cos(nx) jsou obdobou jednočlenné báze polynomů. V komplexním případě se za trigonometrické polynomy označují výrazy s kladnými i zápornými mocninami eix.

Formální definice

Libovolnou funkci T tvaru

:T(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \qquad (x \in \mathbb{R})

s a_n, b_n \in \mathbb{C} pro 0 \leq n \leq N, nazveme komplexním trigonometrickým polynomem stupně N. Pomocí Eulerova vzorce lze takový polynom přepsat do tvaru

:T(x) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx} \qquad (x \in \mathbb{R}).

Obdobně výraz

:t(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \qquad (x \in \mathbb{R})

pro a_n, b_n \in \mathbb{R}, \quad 0 \leq n \leq N a a_N \neq 0 nebo b_N \neq 0, nazýváme reálným trigonometrickým polynomem stupně N.

Vlastnosti

Trigonometrický polynom lze považovat za periodickou funkci na reálné ose, s periodou rovnou celočíselnému násobku 2\pi nebo za funkci na jednotkové kružnici.

Důležitou vlastností trigonometrických polynomů je, že jsou husté v prostoru spojitých funkcí na jednotkové kružnici, se supremovou normou; jde o speciální případ Stoneovy-Weierstrassovy věty. Přesněji: pro každou spojitou funkci f a každé ε > 0, existuje trigonometrický polynom T takový, že pro všechna z |f(z) − T(z)| \langle a, a + 2\pi) reálných čísel nejvýše 2N kořenů.