Antisymetrická matice

Antisymetrická matice je v matematice, zvlášť v lineární algebře, čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná záporně vzaté té samé matici, tedy platí A^T = -A .

V zápisu pomocí elementů matice, kde A_{ij} značí element v i-tém řádku a j-tém sloupci, má podmínka tvar A_{ij} = -A_{ji}.

Například následující matice je antisymetrická:

A = \begin {pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix}

Vlastnosti

V tomto odstavci předpokládáme, že všechny elementy matice jsou prvky pole \mathbb{F} které ma charakteristiku odlišnou od 2, tedy předpokládáme 1+1 \neq 0 , kde 1 je multiplikativní a 0 aditivní identita v daném poli. Pokud je charakteristika pole rovna 2, potom je antisymetrická matice stejný objekt, jako symetrická matice. +more * Součet dvou antisymetrických matic je antisymetrická matice. * Skalární násobek antisymetrické matice je antisymetrická matice. * Elementy na diagonále antisymetrické matice jsou nulové, a tudíž je nulová její stopa. * Pokud je A antisymetrická matice s reálnými elementy ( \mathbb{F} = \mathbb{R}), potom \det A \geq 0 . * Pokud je A reálná antisymetrická matice a \lambda je její reálné vlastní číslo, potom \lambda = 0. * Pokud je A reálná antisymetrická matice, potom I+A je regulární matice, kde I je jednotková matice.

Reference

Kategorie:Matice