Diagonalizovatelná matice

V lineární algebře se čtvercové matici A říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici D, tzn. pokud existuje taková regulární matice R, pro kterou by platilo A = R \, D \, R^{-1}. Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus T: V \rightarrow V nad vektorovým prostorem V, pokud existuje báze V (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je T reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.

Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. +more Jordanův tvar, který mají všechny matice.

Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné (A = R \, D \, R^{-1}), ale kongruentní (A = R^T D \, R). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. +more Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je R ortogonální a platí R^T = R^{-1} \implies R^{-1} A \, R = R^T A \, R. Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.

Podmínka diagonalizovatelnosti

Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Vlastní číslo matice je takové \lambda, které pro nějaký vektor v splňuje A v = \lambda v. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako (A - \lambda E) \, v = 0.

Máme-li matici A a její vlastní číslo \lambda, hodnota \dim \mathrm{Ker} \, (A - \lambda E) se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla \lambda.

Polynom p_A(\lambda) = \det(A - \lambda E) se nazývá charakteristický polynom matice A a jeho kořeny jsou vlastními čísly A. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost \lambda jako kořene tohoto polynomu.

Věta: Nechť A je čtvercová matice a \lambda_1, \, \dots , \, \lambda_k její vlastní čísla. A je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého \lambda_i rovna jeho geometrické násobnosti.

Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru

Hledání diagonálního tvaru D a matice přechodu R lze shrnout do několika kroků:

# Vyjáříme si charakteristický polynom \det (A - \lambda E), najdeme jeho kořeny \lambda_1, \, . , \, \lambda_k a poznamenáme si jejich násobnost. +more # Matice D bude mít tvar D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \, . , \, \lambda_1, \lambda_2, \, . , \, \lambda_k), každé \lambda_i bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost. # Pro každé \lambda_i najdeme jádro matice (A - \lambda E). Následně nalezneme bázi tohoto jádra (v_{i,1}, \, . , \, v_{i,m}), m je násobnost \lambda_i. # Sloupce matice R budou tvořeny vektory (v_{1,1} \, | \, v_{1,2} \, | \, . | \, v_{1,m} \, | \, v_{2,1} \, | \, . | \, v_{k,n}). # Nalezneme inverzní matici R^{-1}. # Platí A = R \, D \, R^{-1}, D = R^{-1} A \, R.

Příklad

Uvažujme matici: :A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}.

Charakteristický polynom matice je:

: \det(A - \lambda E) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & 0 \\ 0 & 3 - \lambda & 0 \\ 2 & -4 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).

Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:

: \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.

Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:

: D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Nyní nalezneme ke každému \lambda_i vlastní vektory. Jsou to:

: v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \in \mathrm{Ker}(A - 3E), : v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathrm{Ker}(A - 2E), : v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \in \mathrm{Ker}(A - E). Jednoduchou kontrolou je: A v_k = \lambda_k v_k

Matici R získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v D.

:R= \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Nakonec k R najdeme inverzi: :R^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Přímým výpočtem lze ověřit, že R^{-1} A \, R = D:

:R^{-1}AR = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Současná diagonalizovatelnost

Matice A, B se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové R, že jak R^{-1} A \, R, tak R^{-1} B \, R jsou diagonální. Obdobně endomorfismy S,T jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.

Věta: Nechť V je vektorový prostor a M množina diagonalizovatelných endomorfismů na V. Pak je M současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.

Reference

Kategorie:Matice