Dvojný integrál

Dvojný integrál (též dvourozměrný integrál) je integrál z funkce dvou proměnných. Používá se hlavně k výpočtu objemu pod prostorovou křivkou. Definičním oborem těchto funkcí je rovina nebo její část. Dvojný integrál se proto počítá na nějaké rovinné oblasti. Objem pod prostorovou křivkou funkce f(x, y) na oblasti I zapíšeme jako

\iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

Výpočet

Dvojný integrál se snažíme převést na tzv. integrál dvojnásobný, tj. dva jednoduché integrály.

Dvojný integrál na obdélníku

Obdélník definovaný jako \langle a, b\rangle\times\langle c, d\rangle Nejjednodušší rovinná oblast pro výpočet integrálu je obdélník. +more Obdélník lze definovat pomocí tzv. dvourozměrného intervalu ve tvaru \langle a, b\rangle \times\langle c, d\rangle, kde \langle a, b\rangle je interval mezi dvěma body na ose x a \langle c, d\rangle na ose y. Jedná se tedy o kartézský součin dvou intervalů. Říkáme tedy přímo, odkud kam jdu na obou osách.

Dvojný integrál na obdélníku spočítáme tak, že jej přepíšeme na dvojnásobný integrál, kde hranice jednotlivých integrálů budou podle intervalů popisujících obdélník. Na obdélníku nezáleží na pořadí jednotlivých hranic, ale musíme ve správném pořadí napsat \mathrm{d}x a \mathrm{d}y.

Dvojný intergál na oblasti I = \langle a, b\rangle\times\langle c, d\rangle tedy spočítáme jako

\iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{a}^{b} (\int\limits_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d}y)\mathrm{d}x = \int\limits_{c}^{d} (\int\limits_{a}^{b} f(x, y)\mathrm{d} x)\mathrm{d}y

U integrálu, jehož hranice popisují osu x, je třeba napsat \mathrm{d}x. Stejně je tomu i u osy y.

Dvojný integrál na libovolné oblasti

Plocha mezi křivkami funkcí y = x^2 a y = 2x Dvojný integrál na libovolné oblasti se spočítá pomocí tzv. +more Fubiniovy věty. Ta nám říká, že dvojný integrál lze rozepsat na dva jednoduché integrály, jejichž hranicemi budou funkce. Je ale nutno dodržet, že vnější integrál bude mít jako hranice číselné hodnoty, jinak by nakonec nevyšlo číslo, ale nějaká funkce.

Pro oblast I: f(x) \leq y \leq g(x) platí, že

\iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{a}^{b} (\int\limits_{f(x)}^{g(x)} f(x, y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}x

kde a a b omezují osu x. Opět je nutno dodržet správné pořadí \mathrm{d}x a \mathrm{d}y - popisuje-li integrál osu x, musí u něj být \mathrm{d}x, a naopak. +more Stejně by šlo nadefinovat Fubiniovu větu i pro funkce, jejichž definičním oborem je osa y a oborem hodnot osa x.

Pro oblast I: f(y) \leq x \leq g(y) s omezením na ose x body a a b platí, že

\iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{a}^{b} (\int\limits_{f(y)}^{g(y)} f(x, y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y

Příklad

Dvojný integrál na oblasti mezi křivkami y = x^2 a y = 2x (viz obrázek) z funkce f(x, y) = xy. Oblast je na ose y ohraničena těmito dvěma křivkami. +more Na ose x jde od 0 do 2. Dvojný integrál by se tedy rozepsal na dvojnásobný například takto:.

\iint\limits_I xy\text{d}x\text{d}y = \int\limits_{0}^{2} (\int\limits_{x^2}^{2x} xy\mathrm{d}y)\mathrm{d}x

Definice

Na obdélníku

Obdélníková integrační oblast na definičním oboru funkce dvou proměnných rozdělená na n\times m menších obdélníků Podobně jako integrál jednoduchý se dvojný integrál definuje jako rozdělení objemu pod prostorovou křivkou na nekonečně malé segmenty. +more Definiční obor se rozdělí na několik menších obdélníků a nad nimi následně počítáme přibližný objem. Objem pod celou křivkou se tedy rozdělí na několik malých kvádrů, jejichž objem už spočítáme jednoduše. Když sečteme objemy všech těchto kvádrů, dostaneme přibližný objem právě pod křivkou té funkce.

Obdélník se na ose x rozdělí na n sloupců a na ose y na m řádků. Objem kvádru na jednom obdélníčku spočítáme tak, že vynásobíme jeho strany, tedy jako V_{ij} = (x_i - x_{i - 1})\cdot(y_j - y_{j - 1})\cdot z.

Hodnotu na ose z určíme dvěma způsoby:

* Horní součet - za z dosazujeme nejvyšší možnou hodnotu, které funkce nabývá na daném obdélníčku. Víme, že horní součet bude určitě větší nebo roven přesnému objemu pod prostorovou křivkou. +more * Spodní součet - za z dosazujeme nejnižší možnou hodnotu, které funkce nabývá na daném obdélníčku. Víme, že spodní součet bude určitě menší nebo roven přesnému objemu pod prostorovou křivkou.

Jestliže minimální hodnotu označíme b a maximální B, pak platí, že

b_{ij} = \inf\{f(x, y) ; (x, y) \in A_{ij}\}

B_{ij} = \sup \{f(x, y); (x, y) \in A_{ij}\}

kde A_{ij} označuje jeden obdélníček.

Součet objemu všech kvádrů nad obdélníčky zapíšeme jako

s(D) = \sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^m((x_i - x_{i - 1})\cdot(y_j - y_{j - 1})\cdot b_{ij}))

S(D) = \sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^m((x_i - x_{i - 1})\cdot(y_j - y_{j - 1})\cdot B_{ij}))

kde s značí spodní součet, S součet horní a D způsob dělení obdélníku. Z definice víme, že pro integrál na původním obdélníku I platí, že

s(D) \leq \iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \leq S(D)

Na čím menší dílky původní obdélník rozdělím, tím přesněji budou naše kvádry opisovat tvar té prostorové křivky. Když tedy rozdělíme obdélník na nekonečno malých dílků, dostaneme přesně ten objem.

\lim_{n \to \infty}(\lim_{m \to \infty}(\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^m((x_i - x_{i - 1})\cdot(y_j - y_{j - 1})\cdot b_{ij})))) = \iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \lim_{n \to \infty}(\lim_{m \to \infty}(\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^m((x_i - x_{i - 1})\cdot(y_j - y_{j - 1})\cdot B_{ij}))))

Na libovolné oblasti

Nechť \chi_A: \mathbb{R}^2 \rightarrow \{0; 1\} je charakteristickou funkcí množiny A \subseteq \mathbb{R}^2. Pak platí, že

\chi_A(x, y) = \begin{cases} 1, & (x, y) \in A \\ 0, & (x, y) \notin A \end{cases}

Omezená množina A \subseteq \mathbb{R}^2 je Jordanovsky měřitelná množina, pokud pro ni existuje nějaký obdélník R \supseteq A takový, že \chi_A je integrovatelná na obdélníku R.

Mějme Jordanovsky měřitelnou množinu A \subseteq \mathbb{R}^2 a ohraničenou funkci f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}. Pak je funkce f integrovatelná na množině A, pokud je pro nějaký obdélník R \supseteq A integrovatelná funkce

(\chi_Af)(x, y) = \begin{cases} f(x, y), & (x, y) \in A \\ 0, & (x, y) \notin A \end{cases}

na obdélníku R. Potom platí, že

\iint\limits_A f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_R (\chi_Af)(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

Vlastnosti

\iint\limits_I c \cdot f(x, y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = c \cdot \iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

\iint\limits_I (f(x, y) + g(x, y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint\limits_I g(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

Pokud je míra množiny A \subseteq \mathbb{R}^2 nula, pak i \iint\limits_A f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0.

Pokud A_1 \cup A_2 = A a míra množiny A_1 \cap A_2 je nula, pak \iint\limits_A f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{A_1} f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint\limits_{A_2}f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.

Transformace dvojného integrálu

Dvojné integrály můžeme transformovat za účelem zjednodušení jejich hranic (ne integrované funkce). Transformaci provedeme tak, že za x a y dosadíme nějaké dvě funkce v jiných dvou proměnných. +more Následně tyto funkce dosadíme do integrálu a přepočítáme hranice. Abychom mohli integrovat podle těchto nových proměnných, musíme vnitřek integrálu vynásobit absolutní hodnotou tzv. jakobiánu.

\iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_A f(g(u, v), h(u, v)) \cdot |J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v

Jakobián funkce 2 proměnných spočítáme jako determinant 2×2 takto:

J = \begin{vmatrix} g_u & g_v \\ h_u & h_v \end{vmatrix} = g_uh_v - g_vh_u

kde g_u, g_v, h_u, h_v jsou parciální derivace těchto funkcí.

Dilatace

Dilatace je natažení nebo smrštění, tedy něco jako změna měřítka grafu. Za každou z proměnných dosadím nějaký násobek nových proměnných.

\iint\limits_I f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \begin{vmatrix} x = au \\ y = bv\end{vmatrix} = \iint\limits_A f(au, bv) \cdot |ab|\mathrm{d}u\mathrm{d}v

jelikož jakobián vyjde J = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} = ab.

Posunutí

Posunutí je transformace, kdy se každá proměnná pouze posune o určitou hodnotu. Jakobián vyjde 1.

Polární souřadnice

Polární souřadnice Polární souřadnice jsou typickou transformací, počítáme-li integrál na nějaké části kruhu. +more Dokáží hranice zjednodušit opravdu hodně. Bod polárními souřadnicemi popíšeme jako vzdálenost od počátku (zpravidla označujeme \rho - ró) a úhel (označujeme \phi - fí) - viz obrázek. Z definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici lze vyvodit, že.

x = \rho \cdot \cos\phi

y = \rho\cdot\sin\phi

\rho je nějaká nezáporná hodnota a \phi je nějaký úhel od 0 do 360°, tedy 2π. Jakobián vyjde

J = \begin{vmatrix} \cos\phi & -\rho\cdot\sin\phi \\ \sin\phi & \rho\cdot\cos\phi \end{vmatrix} = \rho\cdot\cos^2\phi + \rho\cdot\sin^2\phi = \rho

Jelikož \rho je nezáporné, absolutní hodnota z jakobiánu je jen \rho.

Při přepisu na dvojnásobný integrál se jako hranice uvede právě úhel \phi a poloměr \rho. Například integrál na kruhu s poloměrem r:

\iint\limits_K f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_P \rho f(\rho\cdot\cos\phi, \rho\cdot\sin\phi )\mathrm{d}x\mathrm{d}y

Kde K: x^2 + y^2 \leq r^2 a P: \rho \in \langle 0; r\rangle, \phi \in \langle 0; 2\pi\rangle. Jelikož přímo říkám, odkud kam která proměnná jde, jedná se o integrál na obdélníku.

\iint\limits_P \rho f(\rho\cdot\cos\phi, \rho\cdot\sin\phi )\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{r} (\int\limits_{0}^{2\pi} \rho f(\rho\cdot\cos\phi, \rho\cdot\sin\phi)\mathrm{d}\phi)\mathrm{d}\rho

Polární souřadnice samozřejmě lze zobecnit na libovolně protaženou či smrštěnou kružnici (tedy elipsu) nebo na kružnici, která nemá střed v počátku, tak, že v jednom kroku aplikuji jak transformaci do polárních souřadnic, tak dilataci a posunutí:

x = a + b\cdot\rho\cdot\cos\phi

y = c + d\cdot\rho\cdot\sin\phi

Využití

Pomocí dvojného integrálu se kromě objemu pod prostorovou křivkou dá spočítat i obsah rovinného obrazce. Počítáme-li integrál z nějaké funkce na nějaké oblasti, znamená to, že danou oblast vytáhneme do výšky, dokud nedosáhne naší funkce. +more Když takto vytáhneme rovinný útvar do výšky 1, jeho obsah bude shodný s objemem takto vytvořeného tělesa (samozřejmě se budou lišit jednotky). Obsah S rovinné oblasti I tedy spočítáme jako.

S = \iint\limits_I \mathrm{d}x\mathrm{d}y

Také můžeme pomocí dvojných integrálů spočítat povrch prostorové křivky. Pro výpočet povrchu S prostorové křivky funkce f(x, y) na oblasti I platí následující vztah:

S = \iint\limits_I \sqrt{1 + {f_x}^2 + {f_y}^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

kde f_x je parciální derivace funkce f podle x a f_y je parciální derivace f podle y.

Související články

Integrál * Integrální počet * Vícerozměrný integrál

Kategorie:Integrální počet Kategorie:Matematické symboly