Ortogonální polynomy

Posloupnost ortogonálních polynomů je v matematice rodina polynomů taková, že jakékoli dva různé polynomy v posloupnosti jsou navzájem ortogonální v nějakém unitárním prostoru.

Nejpoužívanější ortogonální polynomy jsou klasické ortogonální polynomy, ke kterým patří Hermitovy polynomy, Laguerrovy polynomy a Jacobiho polynomy spolu s jejich speciálními případy Gegenbauerovými polynomy, Čebyševovými polynomy a Legendrovými polynomy.

Obor ortogonálních polynomů rozvinul na konci 19. století ze studia řetězových zlomků Pafnutij Lvovič Čebyšev a rozvíjeli jej Andrej Markov a Thomas Joannes Stieltjes. +more K dalším matematikům, kteří se zabývali ortogonálními polynomy, patří Gábor Szegő, Sergej Natanovič Bernstein, Naum Iljič Achiezer, Arthur Erdélyi, Jakov Lazarovič Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam a Richard Askey.

Definice pro případ jedné proměnná s reálnou mírou

Je-li dána nějaká neklesající funkce \mbox{d}\alpha na reálných číslech, můžeme definovat Lebesgueův-Stieltjesův integrál :\int f(x) \; \mbox{d}\alpha(x) funkce f. Pokud je tento integrál konečný pro všechny polynomy f, můžeme definovat vnitřní součin dvojice polynomů f a g vzorcem

:\langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) \; \mbox{d}\alpha(x).

Tato operace je pozitivně semidefinitní vnitřní součin na vektorovém prostoru všech polynomů a je pozitivně definitní, pokud funkce α má nekonečný počet bodů růstu. Obvyklým způsobem zavedeme pojem ortogonality, jmenovitě, že dva polynomy jsou ortogonální, pokud je jejich vnitřní součin nula.

Pak posloupnost (Pn)n=0∞ ortogonálních polynomů je definována vztahy

: \deg P_n = n~, \quad \langle P_m, \, P_n \rangle = 0 \quad \text{for} \quad m \neq n~.

Jinými slovy posloupnost získáme z posloupnosti jednočlenů 1, x, x2, ... Gram-Schmidtovou ortogonalizací vzhledem k tomuto vnitřnímu součinu.

Obvykle požadujeme, aby posloupnost byla ortonormální; zpravidla, aby

: \langle P_n, P_n \rangle = 1~,

ale někdy se používají jiné normalizace.

Případ absolutně spojité funkce

Někdy máme : \mbox{d}\alpha(x) = W(x) \, \mbox{d}x kde :W : \langle x_1, x_2\rangle \to \mathbb{R} je nezáporná funkce s nosičem na nějakém intervalu \langle x_1, x_2 \rangle reálné osy (přičemž může být i x1 = −∞ a x2 = ∞). Takové W se nazývá váhová funkce. +more Pak vnitřní součin popisuje vztah :\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \; \mbox{d}x. Existuje však mnoho příkladů ortogonálních polynomů, kde míra dα(x) má body s nenulovou mírou, ve kterých je funkce α nespojitá, takže váhovou funkci W nelze definovat jako výše.

Příklady ortogonálních polynomů

Nejpoužívanější ortogonální polynomy jsou ortogonální pro míru s nosičem na nějakém reálném intervalu. Patří k nim: * Klasické ortogonální polynomy (Jacobiho polynomy, Laguerrovy polynomy, Hermitovy polynomy a jejich speciální případy Gegenbauer polynomy, Čebyševovy polynomy a Legendrovy polynomy). +more * Wilsonovy polynomy zobecňující Jacobiho polynomy. Mnoho ortogonálních polynomů sem patří jako speciální případy, například Meixnerovy-Pollaczekovy polynomy, spojité Hahnovy polynomy, spojité duální Hahnovy polynomy a klasické polynomy popsané Askeyovým schématem. * Askeyovy-Wilsonovy polynomy zavádějí do Wilsonových polynomů zvláštní parametr q.

Diskrétní ortogonální polynomy jsou ortogonální vzhledem k nějaké diskrétní míře. Míra má někdy konečný nosič; v tomto případě není rodina ortogonálních polynomů nekonečnou posloupností, ale konečnou. +more Racahovy polynomy jsou příkladem diskrétních ortogonálních polynomů a jako speciální případy zahrnují Hahnovy polynomy a duální Hahnovy polynomy, které zase zahrnují jako speciální případy Meixnerovy polynomy, Kravčukovy polynomy a Charlierovy polynomy.

„Proseté“ ortogonální polynomy jsou ortogonální polynomy, jejichž rekurentní vztah je upraven použitím rekurentního vztahu z jiné skupiny polynomů.

Můžeme také uvažovat ortogonální polynomy pro nějaké křivky v komplexní rovině. Nejdůležitějším případem (jiným než reálné intervaly) je, když křivkou je jednotková kružnice, což dává ortogonální polynomy na jednotkové kružnici, jako například Rogersovy-Szegőovy polynomy.

Existují určité rodiny ortogonálních polynomů, které jsou ortogonální na rovinné oblasti jako například na trojúhelnících nebo kruzích. Někdy mohou být zapsány pomocí členů Jacobiho polynomů. +more Například Zernikeovy polynomy jsou ortogonální na jednotkovém kruhu.

Výhoda ortogonality mezi různými řády Hermitových polynomů je aplikována na strukturu Zobecněného multiplexování s frekvenčním dělením . V každé buňce mřížky čas-frekvence může být přenášen více než jeden symbol.

Vlastnosti

Ortogonální polynomy jedné proměnné definované vztahem nezáporné míry na reálné ose mají následující vlastnosti.

Vztah k momentům

Ortogonální polynomy Pn mohou být vyjádřeny pomocí momentů

: m_n = \int x^n \, \mbox{d}\alpha(x)

takto:

: P_n(x) = c_n \, \det \begin{pmatrix} m_0 & m_1 & m_2 &\cdots & m_n \\ m_1 & m_2 & m_3 &\cdots & m_{n+1} \\ &&\vdots&& \vdots \\ m_{n-1} &m_n& m_{n+1} &\cdots &m_{2n-1}\\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{pmatrix}~,

kde konstanty cn jsou libovolné (závisejí na normalizaci polynomů Pn).

Rekurentní vztah

Polynomy Pn vyhovují rekurentnímu vztahu tvaru

: P_n(x) = (A_n x + B_n) P_{n-1}(x) + C_n P_{n-2}(x)~.

Opačný výsledek popisuje Favardova věta.

Christoffelův-Darbouxův vzorec

Kořeny

Pokud míra \mbox{d}\alpha je podporovaná na intervalu \langle a, b\rangle, všechny kořeny polynomu Pn leží v \langle a, b\rangle. Navíc mají kořeny následující prokládací vlastnost:, pokud je m < n, existuje kořen polynomu Pn mezi jakýmikoli dvěma kořeny polynomu Pm.

Vícerozměrné ortogonální polynomy

Macdonaldovy polynomy jsou ortogonální polynomy několika proměnných, v závislosti na volbě affinního kořenového systému. Patří k nim mnoho jiných rodin ortogonálních polynomů více proměnných jako speciální případy, mj. +more Jackovy polynomy, Hallovy-Littlewoodovy polynomy, Heckmanovy-Opdamovy polynomy a Koornwinderovy polynomy. Askeyovy-Wilsonovy polynomy jsou speciálním případem Macdonaldových polynomů pro určitý neredukovaný kořenový systém hodnosti 1.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Appellova posloupnost * Askeyovo schéma hypergeometrických ortogonálních polynomů * Favardova věta * Posloupnosti polynomů binomického typu * Biortogonální polynomy * Zobecněné Fourierovy řady * Sekundární míra * Shefferova posloupnost * Sturmova-Liouvilleova teorie * Stínový počet

Externí odkazy