Cesko.wiki Počáteční úloha
Author
Albert FloresPočáteční úloha (také Cauchyho úloha nebo problém počáteční hodnoty) je v matematice v oboru diferenciálních rovnic hledání takového řešení obyčejné diferenciální rovnice, které vyhovuje počáteční podmínce. Počáteční podmínka stanovuje, jaké hodnoty musí mít neznámá funkce (případně i její derivace) v určitém bodě definičního oboru. Za modelování systému se ve fyzice a jiných vědách obvykle považuje vyřešení počáteční úlohy. Diferenciální rovnici lze v tomto případě považovat za rovnici vývoje, která udává, jak se bude systém z daných počátečních podmínek vyvíjet v čase.
Definice
Počáteční úloha je zadána diferenciální rovnicí :y'(t) = f(t, y(t)) \,, kde f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n pro otevřenou množinu \Omega \,, která je podmnožinou \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n, a bodem v definičním oboru funkce :(t_0, y_0) \in \Omega, nazývaným počáteční podmínka.
Řešením počáteční úlohy je taková funkce y, která je řešením diferenciální rovnice a vyhovuje podmínce :y(t_0) = y_0. \,
Ve vyšší dimenzi se místo jedné diferenciální rovnice uvažuje soustava rovnic y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), . ) a y(t) se bere jako vektor (y_1(t), . +more, y_n(t)). Obecně mohou být podmínky pro neznámou funkci y hodnoty v nekonečněrozměrném prostoru, jakým je například Banachův prostor nebo prostor distribucí.
Použitím derivací v podmínce lze problém počáteční hodnoty rozšířit na vyšší řády, například y(t)=f(t,y(t),y'(t)).
Existence a jednoznačnost řešení
Pro velkou třídu počátečních úloh lze existenci a jednoznačnost řešení ilustrovat pomocí kalkulátoru.
Picardova-Lindelöfova věta zaručuje jednoznačnost řešení na nějakém intervalu obsahujícím t0 pro ƒ spojitou na oblasti obsahující bod t0 a y0, pokud funkce vyhovuje Lipschitzově podmínce pro proměnnou y. Důkaz této věty se provádí přeformulováním problému jako ekvivalentu integrální rovnice. +more Integrál může být považován operátor, který zobrazuje jednu funkci na jinou tak, že řešení je pevným bodem operátoru. Pak se použije Banachova věta o pevném bodě pro důkaz, že existuje jediný pevný bod, který je řešením počáteční úlohy.
Ve starším důkazu Picardovy-Lindelöfovy věta se konstruuje posloupnost funkcí, která konverguje k řešení integrální rovnice a tedy k řešení počáteční úlohy. Tato konstrukce se někdy nazývá „Picardova metoda“ nebo „metoda postupných aproximací“. +more Jedná se vlastně o speciální případ Banachovy věty o pevném bodě.
Hiroshi Okamura získal nutnou a postačující podmínku, aby bylo řešení počáteční úlohy jednoznačné. Tato podmínka využívá existenci soustavy Ljapunových funkcí.
Ne vždy však je funkce ƒ hladká (třídy C1) nebo dokonce Lipschitzovská, takže lokální existence jednoznačného řešení není zaručena. Podle Peanovy existenční věty však spojitost funkce ƒ postačuje, aby řešení existovalo lokálně v čase; problémem je, že neexistuje záruka jednoznačnosti; výsledek lze nalézt v Coddington & Levinson (1955, Věta 1. +more3) nebo Robinson (2001, Věta 2. 6). Ještě obecnější Carathéodoryho existenční věta zaručuje existenci řešení i pro některé nespojité funkce ƒ.
Příklady
;První příklad Řešíme rovnici y' = 0.85 y s počáteční podmínkou y(0) = 19. Hledáme funkci y(t), která vyhovuje oběma rovnicím.
Nejdříve zapíšeme y' jako \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}:
: \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.85 y
pak přeuspořádáme rovnici, aby y bylo na jedné a t na druhé straně:
: \frac{\mathrm{d}y}{y} = 0.85\mathrm{d}t
a obě strany zintegrujeme (což vnáší integrační konstantu B):
: \ln | y | = 0.85t + B
aplikujeme inverzní funkci k logaritmu:
: | y | = e^Be^{0.85t}
zavedeme novou integrační konstantu C = \pm e^B:
: y = Ce^{0.85t} .
Nyní potřebujeme nalézt hodnotu C. Podle počáteční podmínky y(0) = 19 a dosadíme za t 0 a za y 19
: 19 = C e^{0.85 * 0} : C = 19
Výsledné řešení je y(t) = 19e^{0.85t}.
Druhý příklad Řešením diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
: y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3
je funkce
: y(t)=2e^{-3t}+2t+1. \,
což lze ověřit dosazením
: \begin{align} y'+3y &= \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\ &= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\ &= 6t+5. \end{align}