Polární soustava souřadnic

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \varphi) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa x kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálenost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích +moresvg|náhled'>Bod v polární soustavě souřadnic Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: a [[Soubor:Polar to cartesian. svg|náhled|Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]]].

Transformace

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

:x = r \cos{\varphi}\,

:y = r \sin{\varphi}\,

Převod kartézských souřadnic na polární:

:r = \sqrt{x^2 + y^2}

:\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

:\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x0) \wedge (y

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis: :r = \sqrt{x^2 + y^2}

:\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)

Vlastnosti

Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r.

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

:\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,

tedy délka křivky obecně jako

:\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od t_1 do t_2.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

:\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Christofelovy koeficienty Levi-Civitovy konexe generované Euklidovskou metrikou jsou dány vztahy

:{\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}= {\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0

:{\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}

:{\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

:\nabla f = {\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } + {1 \over r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}

:\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } + {1 \over r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}

:\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) + {1 \over r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

:\Delta \mathbf{A} = \left(\Delta A_r - {A_r \over r ^2} - {2 \over r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r } + \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r ^2} + {2 \over r ^2}{\partial A_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}

Externí odkazy

[url=http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html]Polární souřadnice[/url] na MathWorldu

Kategorie:Soustavy souřadnic