Cesko.wiki Singularita (matematika)
Author
Albert FloresSingularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně - například není diferencovatelný. Například funkce f(x)=\frac{1}{x} má na množině reálných čísel singularitu v bodě x=0, kde diverguje k nekonečnu a není zde definovaná, a funkce f(x)=\mathrm{abs}(x) má také na množině reálných čísel singularitu v bodě x=0, protože zde nemá derivaci. Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární.
Izolované singularity
V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. +more Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu. Významnou roli mají především singularity izolované, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Formálněji řečeno, má-li funkce f v bodě z_0 singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu z_0, na němž je f holomorfní, pak se bod z_0 nazývá izolovaná singularita.
Podle limitního chování funkce f v singularitě se izolované singularity se dělí na odstranitelné, podstatné a póly.
Odstranitelná singularita
Má-li funkce f v bodě z_0 singularitu a existuje-li limita \lim_{z\rarr z_0}f(z) , potom je tato singularita odstranitelná. Přitom platí: * dodefinujeme-li f v bodě z_0 uvedenou limitou, je tato funkce v bodě z_0 holomorfní; * existuje kolem bodu z_0 Taylorova řada pro f stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.
Podstatná singularita
Má-li funkce f v bodě z_0 singularitu a limita \lim_{z\rarr z_0}f(z) neexistuje, potom má f v bodě z_0 podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem z_0 nekonečně mnoho členů v hlavní části. +more Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce \exp({-\frac{1}{z^2}}) v bodě z=0.
Pól n-tého řádu
Má-li funkce f v bodě z_0 singularitu a existuje-li limita \lim_{z\rarr z_0}f(z)=\infty,, pak platí, že existuje (přirozené) číslo n takové, že \lim_{z\rarr z_0}\left(z-z_0\right)^nf(z) . Potom f má v z_0 pól n-tého řádu. +more Pól n-tého řádu znamená, že funkce f se v okolí z_0 chová podobně jako nějaký nenulový násobek funkce (z-z_0)^{-n}. Pokud je v z_0 pól, dá se kolem z_0 f rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě n členů ve své hlavní části. Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý.