Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je silnější druh konvergence, než bodová konvergence. Posloupnost \{ f_n(x) \} _{n = 1}^{n = \infty} funkcí konverguje stejnoměrně k limitní funkci f, pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x.

Definice

Srovnáme-li definice konvergence

\forall \varepsilon > 0, \forall x, \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0: |f_n(x) - f(x)|

a stejnoměrné konvergence

\forall \varepsilon > 0, \exist n_0 \in \mathbb{N}: \forall x, \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0: |f_n(x) - f(x)| ,

vidíme, že jediný rozdíl je v pořadí kvantifikátorů \forall x a \exists n_0. Tento rozdíl je však podstatný: Uvážíme-li posloupnost funkcí f_n(x) = x^n - x^{2n}, pak na intervalu [0, 1] všechny konvergují k nule, nikoli však stejnoměrně.

Ekvivalentní definice

Platí, že posloupnost funkcí f_n(x) konverguje na intervalu I k funkci f(x) stejnoměrně právě tehdy, když

\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| = 0,

Reference

Související články

Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence * Posloupnost * Řada (matematika) * Konvergence * Limita * Supremum

Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí Kategorie:Matematické řady