Cesko.wiki Smíšený součin
Author
Albert FloresSmíšený součin je v matematice operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem, kterou lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.
Definice
Mějme aritmetický vektorový prostor \mathbb{R}^{3} s kanonickou bází nad číselným tělesem \mathbb{R}, pak vektory \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathbb{R}^{3} v daném pořadí tvoří smíšený součin, platí-li:
:\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=a_1 b_2 c_3-a_1 b_3 c_2+a_2 b_3 c_1-a_2 b_1 c_3+a_3 b_1 c_2-a_3 b_2 c_1, kde a_i,b_i,c_i pro i \in \{1,2,3\} jsou složky vektorů \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
Vlastnosti
Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu vektorů r_1, r_2 a r_3. +more * Geometrický význam smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu jimi určeného. * Při záměně libovolných dvou vektorů ve smíšeném součinu zůstává absolutní hodnota výsledku stejná, výsledek ale změní znaménko, tj. výsledek smíšeného součinu závisí na pořadí vektorů. * Vektorový součin kolineárních vektorů je nulový vektor, tj. smíšený součin je pak roven nule. * Smíšený součin vektorů kladně orientované kanonické báze je roven jedné. * Smíšený součin je jednotková antisymetrická trilineární forma, lze jej vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu \varepsilon s Einsteinovou sumační konvencí: [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=\varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k.
