Vytvořující funkce (posloupnost)

Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti \{a_i\} je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti, a naopak otázky týkající se funkcí převádět na zkoumání posloupností. Teorie vytvořujících funkcí má však svoje omezení: Ne každé funkci odpovídá nějaká mocninná řada a ne každá mocninná řada konverguje kdekoli kromě nuly (což ovšem v zásadě nebrání s ní pracovat jako s vytvořující funkcí, pokud nepotřebujeme využít analytické vlastnosti jí definované funkce, ale chápeme ji jen jako tzv. formální mocninnou řadu).

Důležitými aplikacemi teorie vytvořujících funkcí jsou momentová vytvořující funkce v teorii pravděpodobnosti, která mimo jiné umožňuje odvodit rozdělení pravděpodobnosti součtu dvou nezávislých náhodných veličin se známými rozděleními, a příbuzná pravděpodobnostní vytvořující funkce. S pomocí vytvořujících funkcí lze také řešit různé kombinatorické úlohy.

Definice

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti (a_0, a_1, a_2, ...) zapíšeme jako :a(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... = \sum_{i=0}^\infin a_i x^i

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. +more Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázce

Mějme např. posloupnost :(1, 1, 1, 1, 1, ...) Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako: :a(x) = 1 + 1 x + 1 x^2 + ...

Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti: :{1} \over {1-x} Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za x libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|x=0. +more5, pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce: :a(0. 5) = 1 + 0. 5 + 0. 5^2 + 0. 5^3 + . = 1 + 0. 5 + 0. 25 + 0. 125 + . = 2.

A pro stejné x=0.5 vyjde uzavřený tvar taktéž: :{{1} \over {1 - 0.5}} = 2

Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.

Například derivací řady a(x) = 1 + 1 x + 1 x^2 + 1 x^3 + ... získáme řadu b(x) = 0 + 1 + 2 x + 3 x^2 + ...

Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar a(x) dostaneme :a(x)' = b(x)= {{1} \over {(1-x)^2}}

Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost (1, 2, 3, 4, 5, ...)

Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkce

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru {1} \over {(1-x)^n}, vypočítáme požadovaný koeficient a_k následovně: :a_k = C_{n-1+k}^{n-1} = \begin{pmatrix} n-1+k \\n-1 \end{pmatrix}

Nebo lze pro (1+x)^{-n} použít tento vzoreček :a_k = C_{-n}^{k} = (-1)^{k} * C_{n + k - 1}^{k}

Příklad

Hledáme koeficient a_8 u vytv. fce (1-x)^{-3} = {{1} \over {(1-x)^3}}: :a_8 = C_{3-1+8}^{3-1} = C_{10}^2 = 45

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkce

Odkazy

Reference

Externí odkazy

Související články

Posloupnost * Momentová vytvořující funkce

Externí odkazy

[url=http://mks.mff.cuni.cz/library/vytvorujici_funkce/vytvorujici_funkce.pdf]Vytvořující funkce ve studijních textech semináře MKS MFF UK[/url]

Kategorie:Matematická analýza