Akce grupy na množině

Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.

Definice

Nechť G\,\. je grupa a A\,\. +more neprázdná množina. Zobrazení \cdot : G \times A \rightarrow A\,\. nazveme akcí grupy G\,\. na množině A\,\. (také působením G\,\. na A\,\. ) jestliže: # g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a\,\. pro všechna g_1, g_2 \in G,a \in A\,\. # 1 \cdot a = a\,\. pro všechna a \in A\,\. (kde 1\,\. je neutrální prvek G\,\. ).

Jinak řečeno prvek g_1 \in G\,\! působí na g_2 \cdot a \in A\,\! stejně, jako působí g_1 g_2 \in G\,\! na a \in A\,\!.

Reprezentace permutacemi

Nechť G\,\. působí na A\,\. +more a pro pevně zvolené g \in G\,\. označme \sigma_g\,\. zobrazení \sigma_g : A \rightarrow A\,\. dané předpisem a \mapsto g \cdot a\,\. Pak platí: # pro libovolné g \in G\,\. je \sigma_g\,\. permutace na množině A\,\. , # zobrazení \phi : G \rightarrow \mathbb{S}_A\,\. dané vztahem g \mapsto \sigma_g\,\. , je homomorfismus grup.

Zobrazení \phi\,\! se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy G\,\! na množině A\,\!.

Akce grupy G\,\. na A\,\. +more se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže g \cdot a = a \,\, \forall g \in G, a \in A\,\. , resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce a stabilizátor prvku

Jádro akce grupy G\,\! na množině A\,\! se nazývá množina J = \{g \in G | g \cdot a = a,\,\forall a \in A\}\,\! (přičemž tato množina je shodná s \ker \phi\,\!).

Je-li pevně zvolen prvek a \in A\,\. , pak množinu G_a = \{g \in G | g \cdot a = a \}\,\. +more nazýváme stabilizátor prvku a\,\. Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky J = \bigcap_{a \in A} G_a\,\. ).

Stabilizátor prvku a \in A\,\! tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.

Orbita prvku

Množina \mathcal{O}_a = \{g \cdot a | g \in G\}\,\! se nazývá orbita prvku a\,\!.

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. \forall a,b \in A \exists g \in G : a = g \cdot b\,\!).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že |\mathcal{O}_a|=|G/G_a|\,\!.

Tranzitivní akce a homogenní prostor

Říkáme, že grupa G má na A tranzitivní akci, pokud pro každé a,b\in A existuje g\in G takové, že g\cdot a=b.

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné a a každé b\in A existuje g\in G takové, že g\cdot a=b a G má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má G na množině A tranzitivní akci, můžeme množinu A reprezentovat jako homogenní prostor :A\simeq G/G_a kde G_a je stabilizátor jednoho prvku a\in A a G/G_a je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je g G_a\mapsto g\cdot a a je jednoznačná,neboť * Díky tranzitivní akci existuje pro každé a příslušné g * Pokud g_1\cdot a=g_2\cdot a tak g_2^{-1}g_1 a=a, tedy g_2^{-1}g_1\in G_a a g_1 G_a=g_2 G_a. +more Zobrazení G/G_a\to A je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd G/G_a se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. +more Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor E(n) dimenze n tedy můžeme reprezentovat jako :E(n)\simeq Euc(n)/O(n).

Odkazy

Související články

Cayleyova věta * Grupa * Množina

Externí odkazy

Kategorie:Algebra Kategorie:Teorie grup