Bijekce

Bijektivní zobrazení Bijekce (bijektivní zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení) je typ zobrazení, které je zároveň prosté i na. Bijekce je tedy zároveň injektivní zobrazení i surjektivní zobrazení. Bijektivní zobrazení přiřazuje každému prvku z cílové množiny právě jeden prvek z výchozí množiny.

Definice

Zobrazení f \colon X \rightarrow Y nazýváme bijektivní, pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:

:\forall y \in Y, \exists! x \in X: y = f(x).

Příklady

Mějme zobrazení f \colon \R \rightarrow \R definované takto: f(x)=2x+1. Toto zobrazení je bijektivní, jelikož pro každé reálné číslo y můžeme vyřešit rovnici y=2x+1 tak, že získáme právě jedno reálné číslo x=\tfrac{1}{2}(y-1).

Na druhé straně, zobrazení g \colon \R \rightarrow \R definované jako g(x)=x^2 není bijektivní, a to ze dvou důvodů: * g(1)=g(-1), takže g není injektivní * neexistuje x tak, že x^2=-1, takže g není surjektivní Kterákoli z těchto skutečností je dostatečná k ukázání, že g není bijektivní.

Použití

Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin, tj. existuje-li libovolná bijekce mezi dvěma množinami, říkáme, že mají stejnou mohutnost. +more Např. lze zkonstruovat bijekci mezi množinou přirozených čísel a množinou racionálních čísel, tj. uvedené množiny mají stejnou mohutnost, jsou spočetné. Naproti tomu mezi množinou racionálních čísel a reálných čísel žádnou bijekci zkonstruovat nelze, tj. uvedené množiny nemají stejnou mohutnost, množina reálných čísel je nespočetná.

Literatura

Související články

Injekce (matematika) * Surjekce

Externí odkazy

Kategorie:Matematické relace a zobrazení