Cesko.wiki Bealova domněnka
Author
Albert FloresBealova domněnka je nápadem amatérského matematika Andrewa Beala.
Při zkoumání a zevšeobecňování Velké Fermatovy věty roku 1993 sestavil Beal následující odhad:
Jestliže A^k +B^l = C^m, \,
kde A, B, C, k, l, a m jsou kladná celá čísla, přičemž k, l, m > 2, pak A, B, C musí mít společného dělitele ve svém prvočíselném rozkladu.
Beal nabídl cenu 1 000 000 dolarů ([url=http://www. ceskenoviny. +morecz/veda_a_technika/zpravy/947151]zdroj[/url]: ČTK, 05. 06. 2013) za dokázání této domněnky, případně za nalezení protipříkladu.
Příklad
Pro ilustraci řešení 33 + 63 = 35 byl dán základ se společným dělitelem v prvočíselném rozkladu 3 a řešení 76 + 77 = 983 o společném děliteli 7. Pak má rovnice skutečně nekonečno řešení, například ve tvaru:
\left[a \left(a^m + b^m\right)\right]^m + \left[b \left(a^m + b^m\right)\right]^m = \left(a^m+b^m\right)^{m+1}
pro všechna a, b, m > 3. Nicméně žádné řešení rovnice není protipříkladem k domněnce, protože základy mají společný faktor prvočíselného rozkladu, kterým je a^m + b^m.
Vlastnosti
Při počítačovém zpracování za použití AID při modulární aritmetice byla podmínka ověřena pro všech šest proměnných až do 1000. Pak tedy v každém protipříkladu musí být alespoň jedna proměnná větší než tisíc.
Výrok, že k, l, m (namísto A, B, C) musí mít společný faktor v prvočíselném rozkladu není pravdivý. Například: 27^4 +162^3 = 9^7.
Bealova domněnka je zevšeobecněním Velké Fermatovy věty opírající se o případ: k = l = m. Jestliže a^n + b^n = c^n kde n \ge 3, pak buď základy jsou nesoudělné nebo sdílejí společného dělitele v prvočíselném rozkladu. +more Jestliže jej sdílejí, můžeme jej vytknout z rovnice a získat tak menší nesoudělné základy.
Domněnka neplatí pro širší základnu Gaussových celých čísel. Byla vypsána odměna 50 $ za protipříklad. +more Fred W. Helenius poté ukázal, že (−2 + i)3 + (−2 − i)3 = (1 + i)4.
Externí odkazy
http://www. bealconjecture. +morecom/ * http://www. math. unt. edu/~mauldin/beal. html * http://www. ams. org/notices/199711/beal. pdf * http://mathoverflow. net/questions/28764/status-of-beal-tijdeman-zagier-conjecture * A search for counterexamples - http://www. norvig. com/beal. html * http://planetmath. org/encyclopedia/BealsConjecture. html * http://www. ceskenoviny. cz/veda_a_technika/zpravy/947151.