Bernoulliho nerovnost

Bernoulliho nerovnost je využívána při dokazování složitějších matematických vět. Samotná nerovnost má tvar

(1+x)^n\geq 1+nx\,;\quad n\in\mathbb{N}, x\in[-1;+\infty)

Důkaz

Důkaz Bernoulliho nerovnosti vyžaduje základy dokazování matematickou indukcí. V prvním kroku se ověří platnost pro první přirozené číslo n=1. +more Dostaneme 1+x=1+x, což je zřejmá pravda. Indukční předpoklad je tedy platnost.

(\,\text{i}\)\qquad(1+x)^k\geq1+kx

Po splnění výše uvedených podmínek. Ve druhém kroku se snažíme z pravdivosti (i) odvodit platnost

(\,\text{ii}\)\qquad(1+x)^{k+1}\geq1+(k+1)x

Tvar nerovnosti (ii) lze přepsat na tvar

(1+x)^k\geq\frac{1+kx+x}{1+x}

Nyní je třeba dokázat, že platí

1+kx\geq\frac{1+kx+x}{1+x}

Po úpravě dospějeme ke tvaru kx^2\geq0 z něhož lze vypozorovat, že původní nerovnost platí.

Použití nerovnosti při důkazech

Příkladem může být důkaz o existenci limity posloupnosti

\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right\}_{n=1}^{\infty}

Přičemž je třeba dokázat omezenost a monotónnost této posloupnosti.

Odkazy

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Matematická analýza