Matematická indukce

Technology

12 hours ago

Author

Matematická indukce je metoda dokazování matematických vět a tvrzení, která se používá, pokud chceme ukázat, že dané tvrzení platí pro všechna přirozená čísla, případně jinou, předem danou nekonečnou posloupnost. Typicky se užívá k důkazům těch tvrzení o přirozených číslech, u nichž je snadné ověřit, že platí pro číslo 1, a zároveň lze platnost pro každé dané n převést v konečně mnoha krocích na platnost pro 1 s tím, že počet těchto kroků s rostoucím n také roste.

Princip důkazu indukcí

Typický důkaz indukcí se skládá ze dvou kroků: * První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo n, nikoliv pro n=1, pro které nemusí vždy obecně platit. * Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1 (Část následující bezprostředně po pokud se někdy nazývá indukční předpoklad). +more Princip matematické indukce pak již říká, že tvrzení platí pro každé n.

Často se v prvním kroku dokazuje, že tvrzení platí pro n = 0. Tento způsob je zcela ekvivalentní.

Tento postup se někdy přirovnává k dominu. Obě tyto části jsou totiž podobné dominovému efektu: * Spadne první kostka domina. +more * Pokud spadne nějaká kostka domina, spadne i její nejbližší soused. Výsledkem potom je, že spadnou všechny kostky.

Příklad

Mějme následující tvrzení: Pro všechna přirozená n platí

:1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\,.

Důkaz

První krok

Nejdříve zkontrolujeme, zda tvrzení platí pro n = 1. Je zřejmé že ano, jelikož součet prvních 1 přirozených čísel je 1 a 1(1 + 1)/2=1.

Nedokazujeme pro n = 0, protože v zadání příkladu je uvedeno n ∈ N, tudíž nejmenší n je 1.

Indukční krok

Nyní chceme ukázat, že pokud tvrzení platí pro n = m, platí i pro n = m + 1. Tj. +more platí-li tvrzení, píšeme-li v něm všude m místo n, pak platí také píšeme-li v něm všude m + 1 místo n.

Předpokládejme tedy, že pro n = m tvrzení platí, čili:

:1 + 2 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2}.

Přičtením m + 1 k oběma stranám této rovnice dostaneme:

:1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{m(m + 1)}{2} + (m+ 1),

kde pravá strana se rovná:

: = \frac{m(m + 1)}{2} + \frac{2(m + 1)}{2} = \frac{(m + 1)(m + 2)}{2} = \frac{(m+1)((m+1)+1)}{2}.

Máme tedy:

:1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{(m + 1)((m + 1) + 1)}{2}.

To je ale přesně tvrzení pro n = m + 1. Dokázali jsme, že je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro n = m.

Shrnutí

Tvrzení tedy platí pro všechna přirozená čísla, jelikož: * Platí pro 1. * Jestliže platí pro 1, platí i pro 2. +more * Jestliže platí pro 2, platí i pro 3. * Jestliže platí pro 3, platí i pro 4. \vdots.