Přirozené číslo

Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice rozumí čísla, které je možné použít pro vyjádření počtu („na stole je šest mincí“) nebo pořadí („toto je třetí největší město“). Čísla používaná pro vyjádření počtu se v matematice označují jako kardinální čísla, zatímco čísla určená pro vyjádření pořadí se nazývají ordinální čísla. Přirozená čísla patří mezi základní matematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel. Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje písmenem \N.

Podle některých z používaných definic (např. standard ISO 80000-2) přirozená čísla začínají číslem 0 a označují tak nezáporná čísla (tj. +more čísla 0, 1, 2, . ), zatímco podle jiných definic přirozená čísla začínají číslem 1 a označují tak čísla 1, 2, 3, .

Značení

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem \mathbb{N}).

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují: * pro nezáporná celá čísla (včetně nuly): ** N0, resp. \mathbb{N}^{0}, případně N0, resp. +more \mathbb{N}_{0}, nebo ** Z+0, resp. \mathbb{Z}^{+}_{0}; * pro kladná celá čísla (bez nuly): **N+, resp. \mathbb{N}^{+}, nebo ** Z+, resp. \mathbb{Z}^{+}.

Formální definice

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika): * Existuje číslo 0. +more * Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a). * Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0. * Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud a ≠ b, pak S(a) ≠ S(b). * Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce. ).

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy. +more).

Konstrukce

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup: * Definuje se 0 = {}. * Definuje se S(a) = a ∪ {a} pro všechna a. +more * Množina přirozených čísel se pak definuje jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

: 0 = \{\} : 1 = \{0\} = \{\{\}\} : 2 = \{0, 1\} = \{0, \{0\}\} = \{\{\}, \{\{\}\}\} : 3 = \{0, 1, 2\} = \{0, \{0\}, \{0, \{0\}\}\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\} : …atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.

Vlastnosti

Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice). * Na přirozených číslech lze definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. +more Tím se stane (N, +) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tedy následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla. * Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem. * Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy a ≤ b právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, takže každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek. * Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.

Reference

Související články

Celé číslo * Racionální číslo * Reálné číslo * Iracionální číslo

Externí odkazy

http://www. stetson. +moreedu/~efriedma/numbers. html ([url=https://oeis. org/wiki/Annotated_version_of_%22What%27s_Special_About_This_Number%3F%22_(Part_0)]na OEIS. org[/url]) * [url=https://mathworld. wolfram. com/NaturalNumber. html]Natural Number -- from Wolfram MathWorld[/url].

Kategorie:Čísla Kategorie:Číselné obory