Neutrální prvek

Technology

12 hours ago

Author

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací \otimes takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např. \cdot, je e často nazýván jednotkovým prvkem (1 \cdot x = x). +more V případě použití aditivního značení, např. +, je e často nazýván nulovým prvkem (0 + x = x)\. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Formální definice

Buď A\, množina a \otimes operace na A\,. * Prvek e\in A\, se nazývá levý neutrální, právě když \forall x \in A : e \otimes x = x. +more * Prvek e\in A\, se nazývá pravý neutrální, právě když \forall x \in A : x \otimes e = x. * Prvek e\in A\, se nazývá neutrální, právě když \forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x.

Příklady

Pokud (A,\ \otimes) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem. * Pokud (A,\ \otimes) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1. +more * Pokud (A,\ \otimes) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice. * Pokud (A,\ \otimes) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice. * Pokud (A,\ \otimes) je množina všech zobrazení z množiny M\, do sebe sama a \otimes je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná \forall x \in M : id(x) = x. * Pokud má A\, pouze dva prvky e\, a f\, a operace \otimes je definována tak, že e \otimes e = f \otimes e = e a f \otimes f = e \otimes f = f, jsou oba prvky e\, a f\, levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, (A,\otimes) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny A\, je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. +more Pokud jsou ale v množině A\, levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak l = l \otimes r = r. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.