Monoid

Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup). V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Definice

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy: * Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z) * Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x. Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace. +more * ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M.

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady

Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení. * Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení

Homomorfismus monoidů

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že: * ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y). * f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Teorie kategorií

V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) (M,\mu,\eta) splňující \mu\circ(\eta\otimes 1)=\lambda, \mu\circ(1\otimes\eta)=\rho a \mu \circ (\mu\otimes 1)=\mu \circ (1 \otimes \mu) \circ\alpha. Morfismus f:M\rightarrow M' je morfismem mezi monoidy, pokud \eta'=f\circ \eta a f\circ\mu=\mu'\circ(f\otimes f). +more Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací \times a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.

Odkazy

Související články

Grupoid * Pologrupa * Grupa - monoid rozšířený o inverzní operaci * Volný monoid

Externí odkazy

Kategorie:Algebraické struktury