Inverzní prvek

Technology

12 hours ago

Author

Inverzní prvek je pojem z algebry, který z pohledu jistého prvku označuje prvek, výsledkem operace * s nímž je neutrální prvek.

Formální definice

Buď S množina s binární operací *. Pokud e ∈ S je neutrální prvek (S,*) a pro nějaké a, b ∈ S platí, že a * b = e, tak se a nazývá levá inverze prvku b a b se nazývá pravá inverze prvku a. +more Pokud je prvek x pravou i levou inverzí prvku y, nazývá se inverze prvku y, nebo též inverzním prvkem prvku y, a prvky x a y se označují jako invertibilní.

Prvek může mít několik levých či několik pravých inverzí. Může mít dokonce oboje zároveň.

Pokud je ale operace asociativní, platí, že má-li prvek levou a pravou inverzi, jsou si obě rovny a jsou dány jednoznačně.

Příklady

Pokud (S,+) jsou reálná čísla se sčítáním, tak existuje inverzní prvek ke všem prvkům a nazývá se opačné číslo a značí (− x). * Pokud (S,*) jsou reálná čísla s násobením, tak existuje inverzní prvek ke všem prvkům kromě nuly a nazývá se převrácená hodnota a značí (1/x). +more * Pokud (S,*) jsou n-rozměrné čtvercové matice s násobením, tak jsou invertibilní právě tehdy, je-li její determinant nenulový (tedy jedná se regulární matice).