Matice

Matice o m řádcích a n sloupcích Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů - prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu m \times n.

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k řešení soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu anizotropních materiálů.

Označení prvků matice

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A se obvykle značí a_{ij}. +more Potom i-tý řádek matice obsahuje vodorovnou n-tici prvků (a_{i1}, a_{i2}, . , a_{in})\,, kde i = 1, 2, . , m a j-tý sloupec matice obsahuje svislou m-tici čísel (a_{1j}, a_{2j}, . , a_{mj})\,, kde j = 1, 2, . , n .

Např. a53 leží v pátém řádku a třetím sloupci. +more Indexy se píší buďto oba dole jako a53, nebo první nahoře a druhý dole jako a53, což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:.

:\mathbf{A}=\begin{pmatrix} {a^1}_1 & {a^1}_2 & \dots & {a^1}_n\\ {a^2}_1 & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & {a^{m-1}}_n \\ {a^m}_1 & \dots & {a^m}_{n-1} & {a^m}_n \end{pmatrix}, \qquad\text{nebo}\qquad \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & a_{m-1,n} \\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n-1} & a_{m,n} \end{pmatrix}.

Pro zjednodušení se také používá zápisu :\mathbf{A} = (a_{i,j}). Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis :\mathbf{A} = {(a_{i,j})}_{m,n} nebo \mathbf{A} = (a_{i,j})\in \mathbb R^{m\times n}. +more Pokud nehrozí chyba (např. indexy jsou jednociferné), lze vynechat čárku oddělující oba indexy, tj. a_{ij}.

Příklad

Matice

:\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}

je obdélníková matice velikosti 4 × 3. Prvek matice a23 nebo a23 je 7.

Operace s maticemi

Sčítaní, násobení skalárem, a transpozice

Operace	Definice	Příklad
Sčítání	Součet A+B dvou matic A and B typu m×n je matice typu m×n, sčítání probíhá po prvcích: :(A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, kde 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ n.	\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{pmatrix}
Násobení skalárem	α-násobek matice A je součin čísla (nazývané skalár) a matice A, který se spočítá vynásobením každého prvku matice A číslem : :(A)i,j = · Ai,j. +more	2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{pmatrix}
Transpozice	Transpozice matice A typu m×n je matice AT typu n×m (někdy také značená Atr nebo tA), která vznikne výměnou řádků a sloupců: :(AT)i,j = Aj,i.	\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \end{pmatrix}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}

.

Násobení matic

Násobení dvou matic je definováno pouze pokud má levá matice stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Pokud A je matice typu m×n a B je matice typu n×p, pak jejich součin AB je matice typu m×p, jejíž prvky jsou skalárním součinem příslušného řádku A a příslušného sloupce B: :[\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j}, kde 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ p. +more :Například podtržený prvek 2340 součinu se spočítá jako : \begin{align} \begin{pmatrix} \underline{2} & \underline 3 & \underline 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.

\begin{pmatrix} 0 & \underline{1000} \\ 1 & \underline{100} \\ 0 & \underline{10} \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & \underline{2340} \\ 0 & 1000 \\ \end{pmatrix}. \end{align}

Maticové násobení splňuje rovnost (AB)C = A(BC) (asociativitu), a rovnosti (A + B)C = AC + BC a C(A + B) = CA + CB (distributivitu zleva a zprava), pokud mají matice takové rozměry, aby součiny byly definovány. Součin AB může být definován, aniž by bylo definováno BA, pokud A a B jsou matice typu m×n a n×k, kde m ≠ k. +more Pokud jsou oba součiny definovány, nemusí být stejné. Pro obecné matice platí: :AB ≠ BA.

Maticové násobení není komutativní, na rozdíl od součinu (racionálních, reálných, nebo komplexních) čísel. Příklad dvou matic, které spolu nekomutují: :\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 3\\ \end{pmatrix}, zatímco :\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}.

Mimo obvyklý maticový součin existují ještě jiné operace s maticemi, které lze považovat za určitý druh násobení, jako například Hadamardův součin anebo Kroneckerův součin.

Další operace s maticemi

Rovnost

O dvou maticích A, B prohlásíme, že jsou si rovny, pokud jsou stejného typu (stejný počet řádků i sloupců) a každý prvek a \scriptstyle_{ij} matice A je roven odpovídajícímu prvku b\scriptstyle_{ij} matice B. Rovnost zapíšeme :\mathbf{A} = \mathbf{B}

Rozdíl

Rozdíl dvou matic A, B (stejného typu) je nová matice R: :\mathbf{R} = \mathbf{A} - \mathbf{B}= \mathbf{A} + (-1\mathbf{B}) Prvky matice R jsou pak určeny vztahem :r_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \,

Lineární kombinace

Obecně lze pro matice \scriptstyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, . , které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic :\mathbf{L} = \lambda \mathbf{A} + \mu \mathbf{B} + . +more, :kde prvky matice \scriptstyle \mathbf{L} určuje výraz :l_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu b_{ij} + .

Mocnina

Opakovaným násobením matice \scriptstyle \mathbf{A} sama sebou lze vytvářet mocniny matic \scriptstyle \mathbf{A}^k. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu :P(\mathbf{A}) = c_0 + c_1 \mathbf{A} + c_2 \mathbf{A}^2 + . +more + c_n \mathbf{A}^n.

Vlastnosti a základní pojmy

Algebraické vlastnosti prostorů matic

Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej K (obvykle K=\mathbb{R} nebo \mathbb{C}). +more Množina všech čtvercových matic n\times n tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se M(n,K), \mathrm{Mat}(n,K), nebo M^{n,n} apod. Pro n>1 je nekomutativní a její centrum je izomorfní K (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, t. j. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze n-dimenzionálního prostoru V nám dává izomorfizmus \mathrm{Mat}(n)\simeq \mathrm{End}(V). Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na V.

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).

Množina všech regulárních (t. j. +more invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje GL(n,K). Pro K=\mathbb{C}, \mathbb{R} je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem SL(n,K).

Hodnost matice

Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků.

Diagonála matice

Prvky a_{11}, a_{22}, a_{33}, ..., leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky a_{ij}, kde i = j.

Prvky a_{1n}, a_{2,n-1}, a_{3,n-2}, ..., leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky a_{ij}, kde j = (n - i) + 1.

Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Důvod dvojího značení

Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice A=(a^i_{\,\,j}) přiřadí vektoru v, který má souřadnice (v nějaké bázi) v^j vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice w^i=\sum_{j} a^i_{\,\,j} v^j (symbolicky Av=w).

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. +more Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru \mathrm{End}(V,W) zapsán v nějakých bázích {v_i}, {w_j} prostorů V, W. Protože ale \mathrm{End}(V,W)\simeq V^*\otimes W, můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1) a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. +more Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. +more Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili ( a_{i,j}) (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

Druhy matic

Přehled některých typů matic
Nad \mathbb{C}	Nad \mathbb{R}	vlastnost
hermitovská	symetrická	\mathbf{A}^{H\mathrm{/}T} = \mathbf{A}
unitární	ortogonální	\mathbf{A}^{H\mathrm{/}T} = \mathbf{A}^{-1}
-	regulární (invertibilní)	regulární (invertibilní)

* Matice typu 1 \times n je tvořena jedním řádkem a bývá označována jako řádková matice. * Matice typu n \times 1 je tvořena jedním sloupcem a bývá označována jako sloupcová matice. +more * Je-li n = m, pak matici označujeme jako čtvercovou matici n-tého řádu (stupně). Pro n \neq m bývá matice označována jako obdélníková. * Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn. a_{ij} = 0 pro všechna i, j, označujeme matici jako nulovou. * Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn. a_{ij} = 0 pro i \neq j a a_{ij} \neq 0 pro i = j, nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice \mathbf{D} lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu :d_{ij} = \lambda_i \delta_{ij} \,, kde \lambda_i = d_{ii}\, jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky \lambda_i diagonální matice platí \lambda_i = 1 \,, jedná se o jednotkovou matici \mathbf{E}, pro jejíž prvky platí :e_{ij} = \delta_{ij} * Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar :\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové. * Jsou-li m i \scriptstyle n konečná čísla, označujeme matici jako konečnou. * Matici, která vznikne z matice \mathbf{A} vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme \mathbf{A}^T. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí :a_{ij}^T = a_{ji} \, * Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. \mathbf{A}^T = \mathbf{A}, pak matici \mathbf{A} označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí :a_{ij} = a_{ji} \,. * Matici \mathbf{A} označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah :a_{ij} = -a_{ji} \,. * Pokud každý prvek a_{ij} matice \mathbf{A} nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým \bar{a}_{ij}, pak získáme matici \bar{\mathbf{A}}, kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici. * Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn. \bar{\mathbf{A}} = \mathbf{A}, pak matici \mathbf{A} nazýváme reálnou maticí. * Provedeme-li na matici \mathbf{A} transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermiteovsky sdruženou (někdy též psáno „hermitovsky“, podle Charlese Hermita). Hermiteovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů :\bar{\mathbf{A}}^T = \mathbf{A}^H = \mathbf{A}^* = \mathbf{A}^+ (poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Moore-Penroseovou pseudoinverzí matice) * Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. \mathbf{A}^H = \mathbf{A}, říkáme, že matice \mathbf{A} je hermitovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá takováto matice má všechna vlastní čísla reálná. (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace) * Matice \mathbf{B} je inverzní maticí k matici \mathbf{A}, pokud platí :\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1}, kde \mathbf{1} je jednotková matice. * Matici \mathbf{A}, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární. * Matici \mathbf{A} označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice \mathbf{A}^{-1} je rovna matici hermiteovsky sdružené \mathbf{A}^H, tzn. :\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^H.

* Adjungovaná matice k matici A je transponovaná matice algebraických doplňků matice A.

Použití

Matice jako zápis lineárního zobrazení

Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi {v_j} a na prostoru W bázi {w_j}. Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru v_i zapsaného v bázi w_j.

Matice přechodu

Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud \{e_1,\ldots,e_n\} a \{e_1',\ldots,e_n'\} jsou dvě báze, pro které platí e_j'=\sum_{i}e_i a^i_{\,\,j},, neboli :(e_1',\ldots,e_n')=(e_1,\ldots,e_n)A, pak matice \scriptstyle \mathbf{A}=(a^i_{\,\,j}) se nazývá matice přechodu od báze \{e_i\}_i k bázi \{e_i'\}_i. +more Pro souřadnice pak platí :\mathbf{A}^{-1} \left(\begin{array}{c}x^1\\\ldots\\x^n\end{array}\right)_{\{e_i\}_i}= \left(\begin{array}{c}x'^{1}\\\ldots\\x'^{n}\end{array}\right)_{\{e_i'\}_i},.

kde \scriptstyle x^i jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi \{e_i\}_i a x'^{i} jsou jeho souřadnice v bázi \{e_i'\}_i a \mathbf{A}^{-1} je inverzní matice k matici \scriptstyle \mathbf{A}.

Duální báze k \{e_i\} a \{e_i'\} (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

Matice jako zápis bilineární formy

Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin) V\times V\to K (obvykle K=\mathbb{R} nebo \mathbb{C}), pokud máme na prostoru V zvolenou bázi {v_j} a na prostoru W bázi {w_j}. Matice zobrazení A vytvoříme tak, že a_{ij}:=(v_i, w_j), kde (. +more) je příslušná bilineární forma. Pak v souřadnicích platí (\{x_i\},\{y_j\})=\{x_i\}^T A \{y_j\}.

Systémy lineárních rovnic

Systém m rovnic o m neznámých \sum_j a_{ij}x_j=b_i se dá zapsat elegantně v maticovém tvaru AX=B,kde A= \left( \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & \dots & \dots & \dots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n-1} & a_{m,n} \end{array} \right), \quad B= \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots\\ b_{m} \end{array} \right), \quad X= \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots\\ x_{n} \end{array} \right) jsou matice soustavy, vektor pravých stran a vektor neznámých. Často při řešení rovnic stačí pracovat s maticí soustavy a vektorem pravých stran, které se pro potřeby výpočtu spojují do rozšířené matice soustavy (viz Gaussova eliminace).

Zkoumání lineární nezávislosti vektorů

Je-li dána množina vektorů ze stejného vektorového prostoru v souřadnicích, je možné tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat pod sebe jako řádky matice. +more Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu se s maticí provádí následující úpravy:.

* Výměna dvou řádků * Vynásobení řádku nenulovým číslem * Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud se podaří postupnou aplikací těchto úprav vytvořit v matici nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace). Pokud se podaří matici upravit do schodovitého tvaru aniž by vznikl nulový řádek, jsou původní vektory lineárně nezávislé. +more Viz též hodnost matice.

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá zapsat v maticovém tvaru \dot{x}=\mathbf{A}x,kde x=x(t) je sloupcový vektor neznámých a A je čtvercová matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané maticovou funkcí \exp(\mathbf{A}t).

Další použití

V matematice a fyzice:

* Jacobiho matice * Hessova matice * Wronského matice * incidenční matice grafu

Ve statistice:

* Matice dat (zcela obecná tabulka popisující závislost jedné veličiny na druhé) * Korelační matice * Stochastická matice * kontingenční tabulky

V kvantové mechanice:

* Zápis operátorů do matic * Matice hustoty (popis smíšeného stavu systému) * Pauliho matice

V populační biologii:

* Leslieho model

Odkazy

Související články

Determinant * Hodnost matice * Jordanův rozklad * LU rozklad * Kontingenční tabulka * Lineární algebra * Maticová funkce * Matice přechodu * Násobení matic * Norma matice * Stopa matice * Soustava lineárních rovnic * Transpozice matic

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20110219001253/http://www. kolej. mff. cuni. cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/]M. Zahradník, L. Motl: Pěstujeme lineární algebru[/url] * [url=http://joshua. smcvt. edu/linearalgebra]Učebnice lineární algebry na webu (anglicky)[/url] * [url=http://autarkaw. com/books/matrixalgebra/index. html]Autar Kaw, Introduction to Matrix Algebra[/url] * [url=http://wims. unice. fr/wims/en_tool~linear~matrix. en. html]Maticová kalkulačka[/url] * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/matreg. php]Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)[/url]* * [url=http://www. umat. feec. vutbr. cz/~novakm/algebra_matic/index_male. php]Sčítání a násobení matic[/url].

Kategorie:Lineární algebra