Lineární kombinace

V matematice se pojmem lineární kombinace označuje jeden z nejzákladnějších konceptů studovaných lineární algebrou. Jedná se v jistém smyslu o zobecnění pojmu násobení a sčítání pro čísla. Pomocí pojmu lineární kombinace se definují další důležité objekty lineární algebry jako je lineární obal, lineární nezávislost a podobně.

Definice

Uvažujme vektorový prostor \scriptstyle V nad tělesem \scriptstyle T. Dále nechť \scriptstyle \vec{x} \in V je nějaký vektor a \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k je soubor \scriptstyle k vektorů z prostoru \scriptstyle V. +more Pak říkáme, že vektor \scriptstyle \vec{x} je lineární kombinací (angl. linear combination) vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, právě když existuje \scriptstyle k-tice čísel z tělesa \scriptstyle \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in T taková, že lze vektor \scriptstyle \vec{x} vyjádřit ve tvaru sumy : \vec{x} = \alpha_1 \vec{x}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{x}_k = \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{x}_i.

Někdy se hovoří obecně o lineární kombinaci vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, aniž bychom specifikovali vektor \scriptstyle \vec{x} či určili konkrétní hodnoty koeficientů \scriptstyle \alpha_1, \ldots, \alpha_k. V takovém případě se zajímáme pouze o výrazy tvaru : \alpha_1 \vec{x}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{x}_k = \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{x}_i.

Číslům \scriptstyle \alpha_i ze vztahů výše říkáme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechny koeficienty \scriptstyle \alpha_i nulové, tj. +more \scriptstyle (\forall i \in \{ 1, \ldots, k\})(\alpha_i = 0), je lineární kombinace označována jako triviální. Takováto lineární kombinace je bez ohledu na hodnotu vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k vždy rovna nulovému vektoru. Je-li alespoň jeden z koeficientů \scriptstyle \alpha_i \ne 0, pak říkáme, že lineární kombinace je netriviální.

Geometrická interpretace

+more5| Ukázka_vektorů_ve_dvourozměrném_Eukleidovský_prostor'>Euklidově prostoru \scriptstyle \mathbb{R}^2. Na obrázku je černě vyobrazen součet vektoru \scriptstyle \vec{x}_1 (modrý) a vektoru \scriptstyle \vec{x}_2 (červený) a zeleně je vyznačena jejich lineární kombinace \scriptstyle -2 \vec{x}_1 - \vec{x}_2. .

Lineární kombinace vektorů je patrně nejsnáze nahlédnutelná v případě Euklidova prostoru, tj. prostoru uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. +more Pro jednoduchost vezměme dvourozměrný prostor \scriptstyle \mathbb{R}^2 nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané dvojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem.

: \alpha \, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \quad + \quad \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} \alpha x_1 + y_1 \\ \alpha x_2 + y_2 \end{pmatrix}.

Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše totiž odpovídá skládání šipek. +more To lze vidět z následujícího příkladu, viz obrázek. Mějme dva vektory, které si barevně odlišíme, aby byl zřejmý jejich vztah k obrázku : \color{blue}{\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0,8 \end{pmatrix}} \color{black}{,} \quad \color{red}{\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 2,5 \\ 1 \end{pmatrix}} \color{black}{. }.

Na obrázku je též černou šipkou vyznačena výslednice těchto dvou vektorů, chápeme-li je jako šipky. Souřadnice této nové šipky přitom vyhovují vztahům pro sčítání dvou vektorů uvedeným v obecnosti výše, když položíme \scriptstyle \alpha = 1. +more Sice : \color{blue}{\begin{pmatrix} -1 \\ 0,8 \end{pmatrix}} \color{black}{+} \color{red}{\begin{pmatrix} 2,5 \\ 1 \end{pmatrix}} \color{black}{= \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,8 \end{pmatrix}}.

Více o vztahu šipek v rovině a dvojic čísel se lze dozvědět v oddíle Fyzikální vektory článku Vektorový prostor. Nyní, když vidíme vztah dvojic reálných čísel coby vektorů a šipek, ukažme si jednoduchou lineární kombinaci. +more Konkrétně zvolme \scriptstyle \alpha_1 = -2 a \scriptstyle \alpha_2 = -1, viz Definice. Máme tedy vektor \scriptstyle -2 \vec{x}_1 - \vec{x}_2, jehož hodnota je : -2 \color{blue}{ \begin{pmatrix} -1 \\ 0,8 \end{pmatrix} } \color{black}{-} \color{red}{ \begin{pmatrix} 2,5 \\ 1 \end{pmatrix} } \color{black}{=} \color{green}{ \begin{pmatrix} -0,5 \\ -2,6 \end{pmatrix} } \color{black}{. }.

Na obrázku je tento vektor vynesen zelenou barvou a jsou zde pro názornost šedě vyneseny i vektory \scriptstyle -2\vec{x}_1 a \scriptstyle -\vec{x}_2, jejichž sečtením zelený vektor vzniká.

Můžeme si též představit jednoduchou fyzikální situaci, kdy na těleso působí v jednom bodě několik sil různých velikostí a směrů. Jejich součet, výslednice sil, udává výsledný efekt působení všech sil dohromady. +more Výslednice uvedených sil je tedy jejich jednoduchá lineární kombinace, kdy jsou všechny koeficienty rovny jedničce. Když bychom uvažovali dvě síly, jejichž vektory by byly \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2 z předchozího příkladu, tak výslednice sil bude odpovídat černé šipce na obrázku.

Příklady

Příklad 1 - Aritmetické vektory

V předchozí sekci jsme si ukázali, jak lze n-tice čísel graficky zobrazovat, explicitně jsme si to ukázali pro n=2. Nyní se podívejme na uspořádané trojice čísel. +more Mějme zadaný vektor \scriptstyle \vec{x} a množinu dvou vektorů \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \vec{x}_2 \}, jejichž explicitní tvar je : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Ptáme se, zda lze vektor \scriptstyle \vec{x} vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2. Lineární kombinace těchto vektorů s obecnými koeficienty \scriptstyle \alpha_1 a \scriptstyle \alpha_2 vypadá následovně : \alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2 = \alpha_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \alpha_1 + 3 \alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_1 + \alpha_2 \end{pmatrix},

kde jsme využili toho, jak je definován součet dvou vektorů a jejich číselný násobek. Aby byla daná lineární kombinace rovná pro nějaké hodnoty koeficientů vektoru \scriptstyle \vec{x}, tak musí platit : \begin{pmatrix} 2 \alpha_1 + 3 \alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_1 + \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},

odkud je ihned patrné, že \scriptstyle \alpha_2 = -1. Když tento vztah dosadíme do prvního řádku výše uvedené rovnosti, tak máme \scriptstyle \alpha_1 = 2, když ho dosadíme do třetího řádku, tak \scriptstyle \alpha_1 = 3, což není v souladu s rovností v prvním řádku. +more Zjistili jsme tak, že vektor \scriptstyle \vec{x} nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2. Pokud ale vektor \scriptstyle \vec{x}_2 nahradíme vektorem : \vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},.

dostaneme rovnost : \begin{pmatrix} 2 \alpha_1 + 5 \alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_1 + \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},

jejímž řešením je \scriptstyle \alpha_1 = 3 a \scriptstyle \alpha_2 = -1. Dokázali jsme tak rovnost : \vec{x} = 3 \vec{x}_1 - \vec{x}_3.

Příklad 2 - Spojité funkce

V oddíle Geometrická interpretace a v předchozím příkladě jsme viděli vytváření lineárních kombinací aritmetických vektorů. Množiny tohoto druhu vektorů, n-tic čísel, jsou patrně nejčastějšími příklady vektorových prostorů. +more Vektorové prostory jsou ale mnohem rozmanitější, můžeme například uvažovat vektorový prostor všech spojitých funkcí reálné proměnné.

Mějme například funkci : f(x) = (3x+2)^2. Předpis této funkce lze zřejmě rozepsat jako \scriptstyle 9 x^2 + 12 x + 4. +more Tuto funkci tak můžeme chápat jako lineární kombinaci funkcí \scriptstyle g_1(x) = x^2, g_2(x)=x, g_3(x)=1 s koeficienty \scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 12, \alpha_3 = 4. Tutéž funkci ale můžeme současně chápat i jako lineární kombinaci funkcí \scriptstyle h_1(x) = x^2, h_2(x)= 3 x + 1 s koeficienty \scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 4, nebo dokonce jako lineární kombinaci funkcí : G_1(x,y) = (x+y)^2 + \frac{4}{9} \sin^2 (x), \quad G_2(x,y) = \cos^2 (x), \quad G_3(x,y) = 6 x (2 - 3 y) - 9 y^2 pokud funkce reálné proměnné chápeme jako funkce dvou reálných proměnných, v nichž se druhá proměnná nevyskytuje. Pro posledně jmenované funkce pak dostáváme koeficienty lineární kombinace \scriptstyle \alpha_1 = 9, \alpha_2 = 4, \alpha_3 = 1, neboť po zpětném dosazení dostáváme rovnost : \alpha_1 G_1(x,y) + \alpha_2 G_2(x,y) + \alpha_3 G_3(x,y) = 9 \left( (x+y)^2 + \frac{4}{9} \sin^2 (x) \right) + 4 \Big( \cos^2 (x) \Big) + 1 \Big( 6 x (2 - 3 y) - 9 y^2 \Big) = 9 x^2 + 18 xy + 9 y^2 + 4 \sin^2 (x) + 4 \cos^2 (x) + 12 x - 18 xy - 9 y^2 = 9 x^2 + 4 + 12 x = (3 x + 2)^2 = f(x), kde jsme využili známého vzorce \scriptstyle \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1. Vidíme tedy, že rozklad vektoru do lineární kombinace není jednoznačný, pokud nespecifikujeme, jaké vektory se mají v lineární kombinaci vyskytovat.

Příklad 3 - Polynomy

Speciálními případy spojitých funkcí jsou polynomy. Polynomem je například i funkce \scriptstyle f z předchozího příkladu. +more Viděli jsme, že lze tuto funkci vyjádřit jako lineární kombinaci mnoha jiných funkcí. Ptejme se nyní, zda lze tuto funkci napsat jako lineární kombinaci následujících tří polynomů a pokud ano, pokusme se nalézt dané koeficienty: : p_1(x) = x^2 - 1, \quad p_2(x) = x^2 + x + 1, \quad p_3(x) = x^2 - \frac{7}{2} x. Začněme svůj postup tím, že si napíšeme obecný tvar lineární kombinace, do které dosadíme naše polynomy \scriptstyle p_1, p_2, p_3: : \alpha_1 p_1(x) + \alpha_2 p_2(x) + \alpha_3 p_3(x) = \alpha_1 (x^2 - 1) + \alpha_2 (x^2 + x + 1) + \alpha_3 (x^2 - \frac{7}{2} x) = (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) x^2 + (\alpha_2 - \frac{7}{2} \alpha_3) x + (-\alpha_1 + \alpha_2). Právě jsme si koeficienty shlukli ke stejným mocninám proměnné \scriptstyle x. Chtěli bychom vědět, zda výraz výše může být pro nějaké hodnoty koeficientů roven výrazu : f(x) = (3x+2)^2 = 9 x^2 + 12 x + 4. Máme tedy rovnost dvou funkcí závislých na proměnné \scriptstyle x: :9 x^2 + 12 x + 4 = (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) x^2 + (\alpha_2 - \frac{7}{2} \alpha_3) x + (-\alpha_1 + \alpha_2). Protože se mají rovnat dvě funkce závislé na proměnné \scriptstyle x, musí být rovnost splněna pro všechny hodnoty proměnné a tedy musejí čísla před každou mocninou proměnné být v obou výrazech rovna. Dostáváme tak soustavu rovnic : \begin{align} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 & = & 9 \\ \quad \quad \alpha_2 - \frac{7}{2} \alpha_3 & = & 12 \\ -\alpha_1 + \alpha_2 \quad \quad & = & 4 \end{align}.

Vyjádřeme si z poslední rovnice \scriptstyle \alpha_2 = 4 + \alpha_1 a dosaďme do zbylých dvou. Dostaneme tak : \begin{align} 2 \alpha_1 + \alpha_3 & = & 5 \\ \quad \quad \alpha_1 - \frac{7}{2} \alpha_3 & = & 8 \end{align}

Opět si z druhé rovnice vyjádřeme \scriptstyle \alpha_1 = \frac{7}{2} \alpha_3 + 8 a dosaďme do první rovnice. Ta se následně redukuje do tvaru : \alpha_3 = -\frac{11}{8}. +more Po zpětném podosazování tedy dostáváme : \alpha_1 = \frac{51}{16}, \quad \alpha_2 = \frac{115}{16}, \quad \alpha_3 = -\frac{11}{8}. Výsledek nikterak pohledný, leč správný. Pro funkci \scriptstyle f jsme tak nalezli koeficienty jejího rozkladu do polynomů \scriptstyle p_1, p_2, p_3.

Příklad 4 - Soustavy lineárních rovnic

V předchozím příkladu jsme narazili na soustavu lineárních rovnic. Podívejme se nyní na soustavy takovýchto rovnic z trochu jiného úhlu. +more Uvažujme nyní konkrétně následující soustavu : \begin{align} 3 x - 2 y + 2 z & = & 8 \\ - x + \ y + 2 z & = & -1 \\ x \quad \quad \ + 6 z & = & 6 \\ \ 2 y - \ z & = & 0 \\ \end{align}.

Tuto soustavu lze přepsat do kompaktnějšího tvaru tím, že se přeneseme do vektorového prostoru \scriptstyle \mathbb{R}^4 a zavedeme vektory : \vec{a}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{a}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}.

Není těžké vidět, že lze pak výše uvedenou soustavu zapsat jako rovnost, kde na levé straně vystupuje lineární kombinace vektorů \scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3: : x \vec{a}_1 + y \vec{a}_2 + z \vec{a}_3 = \vec{b}. Nyní tedy v roli koeficientů lineární kombinace vystupují proměnné \scriptstyle x, y, z, jejichž hodnoty chceme nalézt. +more Úlohu najít řešení soustavy lineárních rovnic jsme tak převedli na úlohu, kdy máme tři zadané vektory \scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3 a chceme najít takové jejich lineární kombinace, které budou rovny čtvrtému zadanému vektoru, vektoru \scriptstyle \vec{b}. V našem případě jsou navíc vektory \scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3 lineárně nezávislé. Můžeme se na ně tedy dívat jako na bázi jistého trojrozměrného podprostoru v \scriptstyle \mathbb{R}^4. Na naši úlohu lze poté nahlížet i tak, že hledáme souřadnice vektoru \scriptstyle \vec{b} v bázi tvořené právě vektory \scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3. Pokud \scriptstyle \vec{b} neleží v jimi generovaném podprostoru, tak výše uvedená soustava rovnic nemá řešení, to ale není náš případ.

Pro úplnost, výše uvedenou vektorovou rovnici můžeme dále převézt na ještě kompaktnější tvar, naskládáme-li vektory \scriptstyle \vec{a}_1, \vec{a}_1, \vec{a}_3 do matice. Označme si tuto matici \scriptstyle A. +more Navíc si ještě definujme vektor \scriptstyle \vec{x} jako sloupeček neznámých proměnných, pak : A = \begin{pmatrix} \vec{a}_1 \quad \vec{a}_1 \quad \vec{a}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.

S takto zavedenou maticí můžeme výše uvedenou soustavu rovnic vyjádřit ve tvaru : A \vec{x} = \vec{b}, kde se uplatňuje násobení matice \scriptstyle A a vektoru \scriptstyle \vec{x}.

Speciální případy lineární kombinace

Někdy je lineární kombinace pojem moc obecný a zavádějí se zajímavé podpřípady, konkrétně afinní a konvexní kombinace. Afinní kombinace se uplatňují při popisu lineárních variet, konvexní kombinace při popisu konvexních podmnožin vektorových prostorů.

Afinní kombinace

Nechť \scriptstyle V je vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle T, \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k \} množina \scriptstyle k vektorů z \scriptstyle V a \scriptstyle (\alpha_1, \ldots, \alpha_k) \scriptstyle k-tice čísel z tělesa. Pak lineární kombinaci \scriptstyle \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{x}_i nazýváme afinní kombinace, právě když je součet jejích koeficientů roven jedné, neboli : \sum_{i=1}^k \alpha_i = 1.

Podobně jako pro klasické lineární kombinace se i pro afinní kombinace definuje afinní obal.

Konvexní kombinace

Nechť \scriptstyle V je vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle T, \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k \} množina \scriptstyle k vektorů z \scriptstyle V a \scriptstyle (\alpha_1, \ldots, \alpha_k) \scriptstyle k-tice čísel z tělesa. Pak lineární kombinaci \scriptstyle \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{x}_i nazýváme konvexní kombinace, právě když je součet jejích koeficientů roven jedné a přitom jsou všechny koeficienty nezáporné, neboli : \sum_{i=1}^k \alpha_i = 1 \quad \wedge \quad (\forall i \in \{ 1, \ldots, k \})(\alpha_i \geq 0).

Podobně jako pro lineární a afinní kombinace se i pro konvexní kombinace definuje konvexní obal.

Odkazy

Související články

Wronskián * Lineární závislost

Literatura

- skripta FJFI ČVUT

Externí odkazy

Kategorie:Algebra Kategorie:Lineární algebra