Konvexní množina

Technology

12 hours ago

Author

Konvexní množina M Nekonvexní množina N Mnohostěn: a) konvexní, b) nekonvexní

V matematice se pod pojmem konvexní množina obvykle rozumí podmnožina Euklidovského prostoru nebo reálného afinního prostoru, která má následující vlastnost: * úsečka spojující libovolné dva body této množiny je obsažena v dané množině.

Jde tedy o množinu M takovou, že pro všechny body A,B\in\mathbf{M} platí

:AB \subseteq \mathbf{M}.

Analyticky to lze obecně vyjádřit tak, že pro všechna a,b\in\mathbf{M} je splněna podmínka :\overline{ab} := \{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq M.

Představíme-li si hranici množiny jako neprůhlednou, znamená konvexita množiny názorně to, že z každého jejího bodu je vidět každý její bod.

Příklady

úsečka, přímka, rovina i celý prostor jsou konvexní * polopřímka, polorovina i poloprostor jsou konvexní * úhel je konvexní, právě když jeho velikost je nejvýše 180° (je to pak průnik dvou polorovin n. polopřímek) * každý trojúhelník, rovnoběžník i lichoběžník je konvexní, čtyřúhelník už konvexní být nemusí. +more * mnohoúhelník je konvexní, jestliže každý jeho vnitřní úhel má nejvýše 180°, tzn. že vznikne jako průnik konečně mnoha polorovin. * kvádr i jehlan jsou konvexní * kruh a koule jsou konvexní * kružnice ani kulová plocha nejsou konvexní * žádná křivka ani plocha není konvexní, kromě částí přímky a roviny.

Vlastnosti

Průnik libovolného souboru konvexních množin je konvexní. To umožňuje pro libovolnou množinu definovat její konvexní obal jako průnik všech jejích konvexních nadmnožin. +more Je to její nejmenší konvexní nadmnožina (ve smyslu inkluze). * Každá konvexní množina je i hvězdovitě konvexní množina. * Konvexní množina je (obloukovitě) souvislá. * Sjednocení konvexních množin obecně není konvexní, např. sjednocení dvou různých jednobodových množin není konvexní. * Mějme konvexní množinu ve vektorovém prostoru a z ní libovolně vyberme nějaké vektory. Pak tato množina obsahuje všechny možné konvexní kombinace těchto vektorů. Neboli, konvexní množina je uzavřená na konvexní kombinace svých prvků.