Trojúhelník

Trojúhelník je geometrický útvar určený třemi body, neležícími v jedné přímce.

Jednou ze základních vlastností trojúhelníku v „obyčejné“ euklidovské rovině je skutečnost, že součet velikostí jeho vnitřních úhlů je roven 180° (π v obloukové míře). Naproti tomu sférický trojúhelník na kulové ploše má součet velikostí vnitřních úhlů vždy větší než 180° a trojúhelník v hyperbolické (Lobačevského) rovině vždy menší než 180°.

Vlastnosti trojúhelníku tedy podstatně závisí na geometrických vlastnostech roviny, v níž leží. Následující poznatky platí většinou jen pro trojúhelník v euklidovské rovině.

Základní pojmy

Trojúhelník ABC s vrcholy A, B, C a stranami a, b, c

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníku. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníku. +more Úhly vedlejší k vnitřním úhlům se nazývají vnější úhly trojúhelníku. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Trojúhelník nemá úhlopříčky.

Znázornění a zápis

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. +more Trojúhelník se zapisuje symbolem Δ následovaným výčtem všech vrcholů.

Konstrukce trojúhelníku

Trojúhelník může být určen: * (sss) délkou všech tří stran, * (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají, * (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají, * (ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich. Ke konstrukci trojúhelníku se mohou použít i výšky, těžnice atd.

Vlastnosti trojúhelníku

Vnitřní úhly: α, β, γ vnější úhly: α’, β’, γ’ a α’’, β’’, γ’’

Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti:

Součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí, neboli

:a + b > c :a + c > b :b + c > a :|a - b| :|a - c| :|b - c|

Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. +more Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

:α + α’ = β + β’ = γ + γ’ = 180°

:α + β = γ’ :α + γ = β’ :β + γ= α’

:α + β + γ = 180° :α’ + β’ + γ’ = 360°

:\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2} :\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} :\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 2(1+\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma ) :\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma

Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné např.: rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník.

Vztahy mezi úhly a stranami určují sinová, kosinová a tangentová věta.

Zavedeme-li veličinu s = \frac{1}{2}(a+b+c), pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů :\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} :\sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ac}} :\sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}} :\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} :\cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}} :\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}

Druhy trojúhelníků

Podle stran

Obecný trojúhelník (též různostranný) - žádné dvě strany nejsou shodné * Rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou * Rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné

Podle úhlů

Ostroúhlý trojúhelník - všechny vnitřní úhly jsou ostré * Pravoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré * Tupoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré

Důležité přímky a úsečky trojúhelníku

Výška

Výška trojúhelníku

Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem na protější stranu(nebo stručně řečeno kolmice na vrchol z protější strany). Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. +more Každý trojúhelník má tři výšky.

Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum. Ortocentrum leží buď uvnitř trojúhelníku, pokud je ostroúhlý, nebo u pravoúhlého trojúhelníka splývá s jeho vrcholem, při němž je pravý úhel, anebo leží vně u tupoúhlého trojúhelníku.

Spojnice jednotlivých pat výšek tvoří ortický trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník svůj ortický trojúhelník nemá, protože jeho dvě paty výšek splývají.

Ortocentrum tupoúhlého trojúhelníku je středem jedné z kružnic připsaných jeho ortickému trojúhelníku.

Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany.

Pro výšky trojúhelníku platí :v_a:v_b:v_c = \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c} Velikosti výšek jsou určeny vztahy :v_a = b\sin\gamma = c\sin\beta :v_b = a\sin\gamma = c\sin\alpha :v_c = a\sin\beta = b\sin\alpha

Těžnice

Těžnice trojúhelníku

Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku. Každý trojúhelník má tři těžnice. +more Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany, těžiště se označuje písmenem T. Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.

Délky těžnic jsou :t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}, :t_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}, :t_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}.

Střední příčka

Střední příčka trojúhelníku

Střední příčka je spojnice středů dvou stran (dvou pat těžnic). Každý trojúhelník má tři střední příčky. +more Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky - příčkový trojúhelník a tři trojúhelníky při jednotlivých vrcholech. Těžiště trojúhelníku je zároveň těžištěm jeho příčkového trojúhelníku. Střední příčky se označují malým písmenem s.

Symediána

Symediána je osově souměrný obraz těžnice podle osy příslušného úhlu (např. symediána těžnice z vrcholu A podle osy úhlu při vrcholu A). +more Každý trojúhelník má tři symediány. Všechny symediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá Lemoinův bod. Lemoinův bod leží uvnitř trojúhelníku a platí pro něj, že má ze všech vnitřních bodů trojúhelníku nejmenší součet čtverců vzdáleností od stran trojúhelníku. Pokud Lemoinovým bodem vedeme rovnoběžky s jednotlivými stranami, všechny průsečíky těchto rovnoběžek se stranami (je jich šest) leží na kružnici, která se nazývá první Lemoinova kružnice. Střed první Lemoinovy kružnice je středem úsečky spojující Lemoinův bod a střed kružnice opsané.

Osy úhlů

Výška, osa úhlu a těžnice v trojúhelníku. +more Osa vnitřního úhlu dělí na polovinu vnitřní úhel a současně protější stranu dělí v poměru délek přilehlých stran. Osa vnějšího úhlu dělí na polovinu vnější úhel. Na obrázku je osa vnitřního úhlu o_c, osa vnějšího úhlu o_c^\prime a také těžnice t_c a výška v_c z vrcholu C. Podobně lze získat osy i u ostatních vrcholů.

Třetiny úhlů

Morleyův trojúhelník je rovnostranný. +more Vytváří ho přímky dělící vnitřní úhly na třetiny. Pokud jednotlivé vnitřní úhly rozdělíme přímkami na tři stejné díly (trisekce úhlu), průsečíky těchto přímek (vždy těch dvou, které jsou bližší dané straně trojúhelníku) vždy tvoří rovnostranný trojúhelník (Morleyova věta).

Osy stran

Osa strany je kolmice vedená ze středu strany. Osy stran se protínají v jednom bodě (tento bod má stejnou vzdálenost od všech tří vrcholů trojúhelníka).

Eulerova přímka

Eulerova přímka je přímka, která prochází těžištěm a ortocentrem a středem opsané kružnice. Na Eulerově přímce leží i střed kružnice opsané a střed kružnice devíti bodů. +more V rovnostranném trojúhelníku těžiště a ortocentrum splývají, takový trojúhelník Eulerovu přímku nemá.

Gaussova přímka

Gaussova přímka Pokud přímka p protíná přímky, na nichž leží strany trojúhelníku, v bodech X, Y, Z, pak středy úseček AX, BY, CZ leží na přímce. +more Tato přímka se nazývá Gaussova přímka.

Kružnice opsaná, vepsaná a připsaná

Opsaná kružnice Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. +more Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníku jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníku (tzv. Nagelova věta).

Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah :r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}.

Vepsaná kružnice Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. +more Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

Pro poloměr kružnice vepsané platí :\rho = \frac{1}{2}(a+b+c) \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} = \frac{S}{s}.

Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je :d = \sqrt{r^2 - 2r\rho}.

Kružnice připsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vedlejších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. +more Každý trojúhelník má tři kružnice připsané.

Obvod a obsah

Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran:

:o = a + b + c , kde a, b, c jsou strany trojúhelníku

Obsah trojúhelníku S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

:S = v_a \cdot{a \over 2}={v_a\cdot a \over 2}, kde v_a je výška příslušná straně a

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle Heronova vzorce

: s = {o \over 2}, kde o je obvod trojúhelníku

: S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané (r):

:S=\frac{abc}{4r}=2r^2 \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (\rho):

:S=\frac{a+b+c}{2}\rho

Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu:

:S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha Trojúhelník_ABC-D Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (ax,ay), (bx,by), (cx,cy) jsou souřadnice vrcholů (vychází z vektorového součinu, použití hlavně v grafice):

:S=\frac{1}{2}|(c_x - a_x)(b_y - a_y) - (c_y - a_y)(b_x - a_x)| nebo: :S=\frac{1}{2}|[a_x (c_y - b_y) + b_x(a_y - c_y)+c_x(b_y - a_y)]|

Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (dx,dy) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak znaménka obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. +more Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné, obíhájí-li vrcholy ve směru hodinových ručiček.

Věty o trojúhelníku

V trojúhelníku platí mnohé věty, vzorce, poučky. Např.

* sinová věta * kosinová věta (zobecnění Pythagorovy věty na nepravoúhlý trojúhelník) * tangentová věta

V pravoúhlém trojúhelníku navíc:

* Pythagorova věta Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

vzorec: c² = a² + b² * Euklidova věta o výšce

Odkazy

Literatura

Související články

Pravoúhlý trojúhelník * Matematika * Geometrie * Planimetrie - rovinné geometrické útvary * Geometrický útvar * Věty o shodnosti trojúhelníku

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20161228073202/http://trig. wz. cz/]Výpočet úhlů a stran pravoúhlého trojúhelníku[/url] * [url=http://www. matematika. webz. cz/ostatni/trojuhelnik/]Základní konstrukce v trojúhelníku[/url] - flashová animace sestrojení výšek, těžnic, kružnic opsané a vepsané.

Kategorie:Mnohoúhelníky