Sféra (matematika)

Perspektivní projekce kulové sféry (z nadhledu). Pro kvalitní vykreslení tvarů a čar byly využity Bézierovy křivky. V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována S^n:=\{ x\in\R^{n+1}, \sum_i x_i^2=r^2\}

* V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru \R^n. +more Pro n=\infty se také definuje sféra S^\infty, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina. * Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je 4\pi r^2, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r {2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}. +more * Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché. * Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n. * Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře. * Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný z sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen). * Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů). * Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou S^0, S^1, S^3, S^7 (paralelizovatelnost S^7 má souvislost s oktoniony). * Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole, právě když n je liché. * 2-sféra může mít strukturu komplexní variety.

Otevřené problémy

Homotopie sféry nejsou obecně známy. * Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám. +more * Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám. * Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.

Externí odkazy

Kategorie:Plochy Kategorie:Otevřené problémy v matematice