Kompaktní množina

Kompaktní množina, nebo také kompaktní prostor, je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné. Tato definice v topologii zobecňuje a formalizuje intuitivní představu konečného objemu.

V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). +more Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.

Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní (v této množině), tuto vlastnost nazýváme sekvenciální kompaktnost. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená, (ovšem pozor, opačná implikace obecně neplatí).

V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.

Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí.

Ekvivalentní definice pro metrické prostory

Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený. * Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když pro libovolnou posloupnost \{F_n\} neprázdných uzavřených množin, splňující F_{n+1}\subset F_n pro všechna přirozená n platí \cap_{n=1}^\infty F_n \neq \emptyset. +more Viz Cantorova věta o průniku kompaktů.

Příklady kompaktních množin

prázdná množina * libovolný konečný topologický prostor * Cantorova množina * pokud a a b jsou reálná čísla, je interval [a, b] kompaktní množinou v množině reálných čísel. * uzavřená jednotková koule v konečnědimenzionálním normovaném vektorovém prostoru

Vlastnosti

Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel nabývá svého maxima i minima. * Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel je omezená. +more * Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená. * Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktním prostorem. * Při spojitém zobrazení je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina. * Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Viz Cantorova-Heineova věta. * Konečné sjednocení kompaktních prostorů je kompaktní. * Platí Tichonovova věta: kartézský součin libovolné množiny kompaktů je kompaktní (v součinové topologii). * Kompaktní metrický prostor je separabilní. * Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá posloupnost má konvergentní podposloupnost. * Nechť P je kompaktní metrický prostor, Q je metrický prostor a f: P\to Q je spojitá bijekce. Potom f je homeomorfismus.

Kompaktní Lieovy grupy

Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu Lieových grup a jejich reprezentací. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup. +more * Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup, případně jejich konečná nakrytí a součiny s kružnicí). * Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní míra, tzv. Haarova míra, díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování. * Všechny ireducibilní reprezentace kompaktní Lieovy grupy jsou konečněrozměrné a unitarizovatelné * Každá reprezentace kompaktní Lieovy grupy se rozpadá na direktní součet konečně rozměrných reprezentací * Maticové koeficienty těchto reprezentací tvoří ortonormální bázi L^2-funkcí na dané grupě, což umožňuje zobecnit harmonickou analýzu na nekomutativní kompaktní grupy (viz též Peter-Weylova věta).

Kompaktní variety

Klasifikace obecných souvislých kompaktních variet není známa. Kompaktní varieta v dimenzi 1 je pouze kružnice. +more V dimenzi 2 jsou to orientovatelné anebo neorientovatelné plochy charakterizované navíc jedním přirozeným číslem (genus). V dimenzi 3 byla v roce 2002 dokázána tzv. Poincarého hypotéza: každá kompaktní jednoduše souvislá 3-varieta je homeomorfní 3-sféře.

Literatura

Topology, John Gilbert Hocking, Gail S. Young, Courier Dover Publications, 1988 * General topology, John L. +more Kelley, Birkhäuser, 1975, kapitola 5 * Elementary Topology and Applications, Carlos R. Borges, World Scientific Publishing Company (2001), kapitola 3.

Související články

Topologie

Externí odkazy

Kategorie:Topologie