Cesko.wiki Interval (matematika)
Author
Albert FloresInterval je v matematice množina reálných čísel, která se nachází mezi dvěma danými čísly. Jedná se o rozsah, který zahrnuje všechny hodnoty mezi těmito dvěma čísly včetně. Intervaly se zapisují ve tvaru , kde a a b jsou koncové body intervalu. Pokud je jedno z koncových čísel v intervalu neomezené, používá se zápis (-∞, b> nebo
V matematice se jako interval označuje množina reálných čísel, které leží mezi dvěma určenými čísly, která se označují jako meze intervalu. Rozdíl mezi mezemi se označuje jako délka, šířka, rozměr nebo velikost intervalu. Např. interval „(10; 15)\,“ popisuje množinu reálných čísel mezi 10 a 15, bez těchto čísel. Interval „\langle 10; 15 \rangle\,“ pak označuje množinu reálných čísel mezi 10 a 15, včetně těchto čísel. Délka obou těchto intervalů je 5.
Obecně je v abstraktní matematice interval definován jako podmnožina S nějaké lineárně uspořádané množiny T, pro kterou platí, že kdykoli x, y \in S a x , pak z \in S. Výše uvedená definice pak je důležitým speciálním případem s T = \mathbf{R}.
Jako oddělovač mezí používáme přednostně „;“, protože při oddělovači „,“ může dojít k záměně s desetinnou čárkou v číslech vyjadřující meze.
Vlastnosti
Reálné intervaly jsou důležité, protože představují číselný protějšek konvexních podmnožin přímky - úseček, polopřímek (případně bez jednoho nebo obou koncových bodů), celé přímky a prázdné množiny.
Průnik libovolné množiny intervalů je tedy opět interval. Průnik libovolné množiny uzavřených intervalů je uzavřený interval. +more Průnik konečného počtu otevřených intervalů je otevřený interval. Sjednocení souboru intervalů je zase interval, pouze pokud každý interval obsahuje společný bod s nějakým jiným intervalem souboru.
Typy intervalů
Typy intervalů
Intervaly reálných čísel mohou mít jeden z následujících tvarů (a, b jsou reálná čísla, kde a ):
# ( a, b ) = \{ x \,|\, a \langle a, b \rangle = \{ x \,|\, a \le x \le b \} \,
# \langle a, b ) = \{ x \,|\, a \le x
# ( a, b \rangle = \{ x \,|\, a
# ( a, \infty ) = \{ x \,|\, a
# \langle a, \infty ) = \{ x \,|\, a \le x \} \,
# ( -\infty, b ) = \{ x \,|\, x
# ( -\infty, b \rangle = \{ x \,|\, x \le b \} \,
# ( -\infty, \infty ) = \mathbf{R} \,, celá množina reálných čísel
# \{a\} v případě \langle a, a \rangle
# prázdná množina \emptyset v případě (a, a)\,, popř. +more když je levá mez vyšší než pravá.
Intervaly 1. , 5. +more, 7. , 9. a 11. se označují jako otevřené intervaly (protože jsou to otevřené množiny), intervaly 2. , 6. , 8. , 9. , 10. a 11. jsou uzavřené intervaly (protože jsou to uzavřené množiny). Intervaly 3. a 4. se někdy označují jako polootevřené či polouzavřené nebo též zleva/zprava otevřené/uzavřené.
Intervalová aritmetika
Intervalovou matematiku představil v roce 1956 M. Warmus. +more Tato aritmetika definuje operace nad intervaly tak, že
: A ⊕ B = { x | ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = y ⊕ z }
Pro běžné operace to znamená:
* (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
* (a,b) − (c,d) = (a−d, b−c)
* (a,b) ⋅ (c,d) = (min {ac, ad, bc, bd}, max {ac, ad, bc, bd})
* (a,b) : (c,d) = (min {a:c, a:d, b:c, b:d}, max {a:c, a:d, b:c, b:d})
Dělení intervalem, který obsahuje nulu, není definováno. Sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a poddistributivní (množina X (Y + Z) je podmnožinou XY + XZ).
Alternativní značení
V zahraničí je místo kulatých a lomených závorek často používána kombinace kulatých a hranatých (anglicky psaná literatura), nebo hranatých a převrácených hranatých závorek (francouzská lit. ). +more Jejich použití je popsáno v normě ISO 31-11.
Příklad:
český zápis anglický zápis francouzský zápis \lang a, b \rang [ a, b ] [ a, b ] uzavřený interval \lang a, b ) [ a, b ) [ a, b [ zleva uzavřený, zprava otevřený interval ( a, b \rang ( a, b ] ] a, b ] zleva otevřený, zprava uzavřený interval ( a, b ) ( a, b ) ] a, b [ otevřený interval
V matematice se jako interval označuje množina reálných čísel, které leží mezi dvěma určenými čísly, která se označují jako meze intervalu. Rozdíl mezi mezemi se označuje jako délka, šířka, rozměr nebo velikost intervalu. Např. interval „(10; 15)\,“ popisuje množinu reálných čísel mezi 10 a 15, bez těchto čísel. Interval „\langle 10; 15 \rangle\,“ pak označuje množinu reálných čísel mezi 10 a 15, včetně těchto čísel. Délka obou těchto intervalů je 5.
Obecně je v abstraktní matematice interval definován jako podmnožina S nějaké lineárně uspořádané množiny T, pro kterou platí, že kdykoli x, y \in S a x , pak z \in S. Výše uvedená definice pak je důležitým speciálním případem s T = \mathbf{R}.
Jako oddělovač mezí používáme přednostně „;“, protože při oddělovači „,“ může dojít k záměně s desetinnou čárkou v číslech vyjadřující meze.
Vlastnosti
Reálné intervaly jsou důležité, protože představují číselný protějšek konvexních podmnožin přímky - úseček, polopřímek (případně bez jednoho nebo obou koncových bodů), celé přímky a prázdné množiny.
Průnik libovolné množiny intervalů je tedy opět interval. Průnik libovolné množiny uzavřených intervalů je uzavřený interval. +more Průnik konečného počtu otevřených intervalů je otevřený interval. Sjednocení souboru intervalů je zase interval, pouze pokud každý interval obsahuje společný bod s nějakým jiným intervalem souboru.
Typy intervalů
Typy intervalů Intervaly reálných čísel mohou mít jeden z následujících tvarů (a, b jsou reálná čísla, kde a ): # ( a, b ) = \{ x \,|\, a \langle a, b \rangle = \{ x \,|\, a \le x \le b \} \, # \langle a, b ) = \{ x \,|\, a \le x # ( a, b \rangle = \{ x \,|\, a # ( a, \infty ) = \{ x \,|\, a # \langle a, \infty ) = \{ x \,|\, a \le x \} \, # ( -\infty, b ) = \{ x \,|\, x # ( -\infty, b \rangle = \{ x \,|\, x \le b \} \, # ( -\infty, \infty ) = \mathbf{R} \,, celá množina reálných čísel # \{a\} v případě \langle a, a \rangle # prázdná množina \emptyset v případě (a, a)\,, popř. +more když je levá mez vyšší než pravá.
Intervaly 1. , 5. +more, 7. , 9. a 11. se označují jako otevřené intervaly (protože jsou to otevřené množiny), intervaly 2. , 6. , 8. , 9. , 10. a 11. jsou uzavřené intervaly (protože jsou to uzavřené množiny). Intervaly 3. a 4. se někdy označují jako polootevřené či polouzavřené nebo též zleva/zprava otevřené/uzavřené.
Intervalová aritmetika
Intervalovou matematiku představil v roce 1956 M. Warmus. +more Tato aritmetika definuje operace nad intervaly tak, že : A ⊕ B = { x | ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = y ⊕ z } Pro běžné operace to znamená: * (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) * (a,b) − (c,d) = (a−d, b−c) * (a,b) ⋅ (c,d) = (min {ac, ad, bc, bd}, max {ac, ad, bc, bd}) * (a,b) : (c,d) = (min {a:c, a:d, b:c, b:d}, max {a:c, a:d, b:c, b:d}) Dělení intervalem, který obsahuje nulu, není definováno. Sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a poddistributivní (množina X (Y + Z) je podmnožinou XY + XZ).
Alternativní značení
V zahraničí je místo kulatých a lomených závorek často používána kombinace kulatých a hranatých (anglicky psaná literatura), nebo hranatých a převrácených hranatých závorek (francouzská lit. ). +more Jejich použití je popsáno v normě ISO 31-11.
Příklad:
| český zápis | anglický zápis | francouzský zápis | |
|---|---|---|---|
| \lang a, b \rang | [ a, b ] | [ a, b ] | uzavřený interval |
| \lang a, b ) | [ a, b ) | [ a, b [ | zleva uzavřený, zprava otevřený interval |
| ( a, b \rang | ( a, b ] | ] a, b ] | zleva otevřený, zprava uzavřený interval |
| ( a, b ) | ( a, b ) | ] a, b [ | otevřený interval |