Podmnožina

B je podmnožina A, A je nadmnožina B V matematice se jako podmnožina množiny A označuje taková množina B, o jejíchž všech prvcích platí, že jsou zároveň i prvky množiny A. Obdobně se může množina A označit jako nadmnožina množiny B. Tato fakta značíme B \subseteq A, případně A \supseteq B. Relace „být podmnožinou“ se nazývá také inkluze.

Každá množina je svojí podmnožinou. Podmnožina množiny B, která jí není rovna, se označuje jako vlastní podmnožina množiny B. +more Tzn. žádná množina není svojí vlastní podmnožinou. Relace "být vlastní podmnožinou" se též nazývá ostrá inkluze.

Formální definice

B \subseteq A \Leftrightarrow ( \forall X)(X \isin B \implies X \isin A)

B \subset A \Leftrightarrow ( B \subseteq A \land (B \neq A))

Způsoby zápisu

Existují dva obvyklé způsoby zápisu podmnožin: Ve starším systému se symbolem „⊂“ označuje jakákoli podmnožina, zatímco symbolem „⊊“ se označuje vlastní podmnožina. V novějším systému se symbolem „⊂“ označuje vlastní podmnožina (ostrá inkluze), zatímco pro označení obecné podmnožiny se používá symbol „⊆“ (analogický např. +more k „≤“).

Příklady

Množina { 1, 2, 3 } je vlastní podmnožinou množiny { 0, 1, 2, 3 }. * Množina všech celých čísel je vlastní podmnožinou množiny všech reálných čísel. +more * Množina všech prvočísel větších než 500 je vlastní podmnožinou všech lichých čísel. * Množina { 2 } je podmnožinou množiny sudých prvočísel (ovšem nikoli vlastní podmnožinou, protože je jí rovna). * Množina českých prezidentů je vlastní podmnožinou množiny hlav evropských států. * Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.

Vlastnosti

Relace \subseteq je uspořádání na množině všech podmnožin (tj. na potenční množině) libovolně zvolené množiny - to znamená, že splňuje pravidla reflexivity, tranzitivity a slabé antisymetrie.

Na druhé straně existují na každé množině s alespoň dvěma různými prvky takové podmnožiny, které nejsou srovnatelné - \neg (S_1 \subseteq S_2) \land \neg (S_2 \subseteq S_1). To znamená, že \subseteq není úplné, ale pouze částečné uspořádání.

Prázdná množina je nejmenším prvkem libovolné potenční množiny vzhledem k uspořádání \subseteq .

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Teorie množin Kategorie:Binární operátory