Cesko.wiki Prázdná množina
Author
Albert FloresJedna z variant zápisu prázdné množiny Prázdná množina je v matematice množina, která neobsahuje žádné prvky. Značí se obvykle symbolem přeškrtnuté nuly \emptyset, někdy psané též jako \varnothing, popř. ∅, anebo symbolem prázdných množinových (složených) závorek {}.
Množina, která není prázdná, tzn. množina obsahující nějaké prvky, bývá označována jako neprázdná množina.
Formální zavedení v teorii množin
V dnes nejčastěji používaném axiomatickém systému Zermelově-Fraenkelově teorii množin se existence prázdné množiny dokazuje ze schématu axiomů vydělení a axiomu existence (existuje alespoň jedna množina) formulí : pro množinu x definujme \emptyset:=\{y\in x;\, y\neq y\}.
Z axiomu extenzionality pak plyne, že prázdná množina je jediná, tj. libovolné dvě prázdné množiny jsou si rovny.
Vlastnosti
Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny: *: ∀ A: ∅ ⊆ A * Libovolná množina se sjednocením s prázdnou množinou nemění: *: ∀ A: ∅ ∪ A = A * Průnik libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina: *: ∀ A: ∅ ∩ A = ∅ * Kartézský součin libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina: *: ∀ A: ∅ × A = A × ∅ = ∅ * Jedinou (a to nevlastní) podmnožinou prázdné množiny je právě prázdná množina; žádné vlastní podmnožiny prázdná množina nemá: *: ∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅ * Mohutnost prázdné množiny je nula, prázdná množina je tedy konečná: *: |∅| = 0
Prázdná množina jako topologický prostor je zároveň otevřená, uzavřená a kompaktní.
Součet prvků prázdné množiny se obvykle definuje jako 0, součin prvků prázdné množiny jako 1, supremum prázdné množiny reálných čísel jako -\infty a infimum jako +\infty.
Vysvětlení některých vlastností
Definice podmnožiny říká, že každý prvek podmnožiny musí být prvkem druhé množiny. Obecný kvantifikátor pro každý prvek platí je u prázdné množiny vždy splněn, jak plyne z elementárních pravidel logiky.
Také je třeba si uvědomit, že např. A = {∅} není prázdná množina. Je to množina o jednom prvku, kterým je prázdná množina (tzn. jeden prvek množiny A je prázdnou množinou).
Aplikací tohoto faktu je množinové zavedení přirozených čísel (0 je reprezentována ∅, 1 jako {∅} a n jako množina \{0, 1, \ldots, n-1\}).