Konečná množina

Technology

12 hours ago

Author

Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.

Definice

Konečnou množinu lze definovat několika ekvivalentními způsoby: * Množina je konečná, pokud ji nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějakou její vlastní podmnožinu. * Množina je konečná, pokud ji lze vzájemně jednoznačně zobrazit na některé přirozené číslo. +more * Množina je konečná, pokud každá neprázdná podmnožina potenční množiny má alespoň jeden maximální prvek vzhledem k uspořádání \subseteq \,\. („být podmnožinou“).

Výrok „x je konečná množina“ je obvykle zapisován symbolem Fin(x) \,\! .

Třída všech konečných množin je zapisována symbolem

Fin = \{x : Fin(x) \} \,\!

Význam

Bez ohledu na to, kterou definici vybereme, zachycuje pojem konečné množiny intuitivní význam slova konečný - konečné jsou takové soubory prvků, pro které lze určit jejich počet - nějaké přirozené číslo. Tento počet prvků odpovídá u konečných množin obecnějšímu pojmu mohutnost.

Tato možnost přiřadit konečné množině nějaké přirozené číslo jako její počet, znamená, že konečnou množinu lze vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny \omega \,\! všech přirozených čísel - každá konečná množina je tedy spočetná.

Všechny množiny se na základě pojmu konečnosti a spočetnosti rozpadají do tří kategorií: * konečné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na přirozené číslo * nekonečné spočetné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu všech přirozených čísel * ostatní - nespočetné

Important

Příklady a vlastnosti

Prázdná množina je konečná. * Každé přirozené číslo (ve smyslu množinové definice přirozených čísel) je konečná množina. +more * \omega \,\. není konečná množina - vezmu-li například první definici, tak předpisem m = 2. n \,\. lze \omega \,\. zobrazit na množinu všech sudých čísel, což je její vlastní podmnožina.

Pokud platí Fin(x), Fin(y) \,\. , pak také * Fin(x \cup y) \,\. +more (sjednocení dvou konečných množin je konečné) * Fin(x \cap y) \,\. (průnik dvou konečných množin je konečný) * Fin(x \times y) \,\. (kartézský součin dvou konečných množin je konečný) * Fin( \mathbb{P}(x)) \,\. (potenční množina konečné množiny je konečná).