Třída (matematika)

Technology

12 hours ago

Author

Třída (někdy také přesněji množinová třída) je matematický pojem z oboru teorie množin používaný pro označení souboru objektů, u kterých lze případ od případu určit, zda do dané třídy náleží nebo nenáleží - soubor tedy musí být dobře popsán z hlediska náležení.

Postavení tříd v teorii množin

Pohled na pojem třídy se výrazně liší podle toho, v jakém systému teorie množin je používán.

V původní naivní teorii množin tento pojem splývá s pojmem množina, který je zde definován jako „dobře popsaný soubor objektů“. Po objevení zásadních nesrovnalostí v takto pojaté teorii množin (označovaných jako paradoxy - vizte například Russellův paradox, Cantorův paradox) byla teorie množin postavena na axiomatické základy.

To mimo jiné znamenalo, že objekty z výše uvedené definice byly omezeny na množiny - jediné, co může ve světě teorie množin někam náležet (ve smyslu „být prvkem“), je množina. Svět teorie množin se tak rozdělil na dva typy objektů - ty, které někam náležejí (množiny), a ty, do kterých něco náleží (třídy).

Přístup k zavedení tříd se liší podle použité axiomatické soustavy: * V nejpoužívanější Zermelově-Fraenkelově teorii množin (označované obvykle ZF) jsou třídy zaváděny mimo vlastní jazyk teorie množin - jako metajazykový pojem, který je používán pro rozdělení množin na ty, které splňují, a které nesplňují nějakou formuli, kterou lze o množinách vyslovit. Pomocí každé formule \phi lze tedy všechny množiny rozdělit na ty, které ji splňují (to je třída „spřažená“ s touto formulí, obvykle označovaná \{ x : \phi \}), a ostatní: \{ x : \neg \phi \}. +more * Ve Von Neumannově-Bernaysově-Gödelově teorii množin (označované obvykle NBG) jsou již v její axiomatice rozlišeny dva typy objektů - množiny a třídy. Množiny jsou pak (podle axiomu definice množiny) ty třídy, které náležejí do jiné třídy: Set(X) \Leftrightarrow (\exist Y)(X \isin Y).

Ať již se při definici postupuje „zdola“ (od množin k třídám) jako v případě ZF nebo „shora“ (od tříd k množinám) jako v případě NBG, v obou případech lze o vztahu tříd a množin vyslovovat stejná tvrzení - následující odstavec tedy je platný jak v ZF, tak NBG.

Vztah mezi třídami a množinami

Každá množina x je zároveň třída (nebo přesněji - lze ji ztotožnit s právě jednou třídou danou předpisem x = \{y : y \isin x \}). Naopak to ale neplatí. +more V axiomatických soustavách teorie množin se z původních paradoxů naivní teorie množin staly vlastně důkazy, že nějaká konkrétní třída není množinou - taková třída se nazývá vlastní. Například Cantorův paradox převeden do řeči moderní teorie množin říká, že „univerzální třída \mathbb{V} = \{ x : x = x \} není množina, ale vlastní třída“.

Třídy se tedy dělí na „malé“ množiny a na „velké“ vlastní třídy. Přívlastky „malé“ a „velké“ je v tomto kontextu nutné brát s rezervou - mezi takto „malé“ množiny patří například nekonečná množina \aleph_{\omega} (viz funkce alef).

Axiom vydělení

Důležitou roli ve vztahu množin a vlastních tříd hraje takzvaný axiom vydělení, který postuluje, že třída, která je obsažena v nějaké množině, je nutně také množinou. Tato vlastnost je pro třídy a množiny velmi podstatná, neboť implikuje, že všechny základní matematické objekty (čísla, relace, funkce, …) existují jako množiny (v nějaké formální teorii množin) a mají (v této teorii) vlastnosti, které od nich očekáváme. +more Díky tomu je možné považovat teorii množin za „nejvyšší teorii“, v níž je celá matematika již obsažena - za takzvaný „svět matematiky“.

Existují zobecnění teorie množin, ve kterých axiom vydělení neplatí, tj. existují vlastní třídy, které jsou částí nějaké množiny. +more Takovým zobecněním teorie množin je například teorie polomnožin, kterou zavedl český matematik Petr Vopěnka a spolu se svými kolegy a žáky (z nichž nejvýrazněji přispěl Petr Hájek) ji rozvinul do rozsáhlé teorie.