Univerzální třída

Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.

Označení a formální definice

Univerzální třída se obvykle značí \mathbb{V} \,\. a bývá definována jako \, \mathbb{V}=\{x:x=x\}. +more S ohledem na to, že = \,\. je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

Vlastnosti univerzální třídy

Univerzální třída \mathbb{V} \,\. obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu. +more Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do \mathbb{V} \,\. . Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do \mathbb{V} \,\. , pak je podle definice tato množina podmnožinou \mathbb{V} \,\. .

* Univerzální třída \mathbb{V} \,\. není množina (je to tedy vlastní třída). +more Pokud by \mathbb{V} \,\. byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina \mathbb{P}(\mathbb{V}) \,\. . Podle Cantorovy věty má \mathbb{P}(\mathbb{V}) \,\. větší mohutnost než \mathbb{V} \,\. , ale podle předchozího odstavce je zároveň \mathbb{P}(\mathbb{V}) \,\. podmnožinou \mathbb{V} \,\. , což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

* Univerzální třída \mathbb{V} \,\. není jedinou vlastní třídou - existují i „menší“ vlastní třídy, například třída \mathbb{O}n \,\. +more všech ordinálních čísel nebo třída \mathbb{C}n \,\. všech kardinálních čísel. To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce x \isin \mathbb{V} \implies x \subseteq \mathbb{V} \,\. nelze obrátit implikaci.

Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí ZF_{-} ). * axiom fundovanosti (AF): Pak \mathbb{V} \,\. +more je rovna fundovanému jádru \mathbb{WF} \,\. (třídě, která vznikne z prázdné množiny iterováním operace potence) * axiom konstruovatelnosti (V=L): Pak \mathbb{V} \,\. je rovna třídě konstruovatelných množin \mathbb{L} \,\. (třídě, která vznikne z prázdné množiny postupným uzavíráním na Gödelovské operace) * axiom silného výběru (AS): Pak existuje bijekce mezi \mathbb{V} \,\. a třídou \mathbb{O}n \,\. všech ordinálních čísel. * axiom silného výběru (AS) + axiom superuniverzality (ASU): Pak existuje netriviální elementární vnoření \mathbb{V} \,\. do \kappa-saturované tranzitivní třídy.

Související články

Fundované jádro * Konstruovatelná množina * Teorie množin * Třída * Vlastní třída

Kategorie:Teorie množin