Kardinální číslo

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Historie

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní.

Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu.

Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše definovat, že množiny mají stejnou kardinalitu, a to i pro nekonečné množiny, například přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel. +more Kardinál spočetných množin pojmenoval \aleph_0 ("alef nula", alef je první písmeno hebrejské abecedy).

Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, mohutnost kontinua, dnes běžně značený c. +more Vyjadřuje mohutnost množiny reálných čísel. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (\aleph_0) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots).

Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = \aleph_1. +more Marné pokusy tuto hypotézu vyřešit dováděly Cantora k šílenství. Po pečlivé axiomatizaci teorie množin se ukázalo, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na jejich základě dokázáno ani vyvráceno.

Definice

Ordinální číslo \alpha \,\. nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo \beta má i menší mohutnost (tj. +more \alpha \,\. nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu \beta \,\. ). Označíme-li jako Cn \,\. třídu všech kardinálních čísel a On \,\. třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta .

Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety \kappa, \lambda, \mu \,\! , aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: \alpha, \beta, \gamma \,\!

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace \approx \,\! (viz článek mohutnost).

Je-li x \,\! množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál \lambda \,\! , říkáme, že \lambda \,\! je mohutnost množiny x \,\! a píšeme |x| = \lambda \,\! .

Jednoznačné zobrazení mohutnosti všech množin na kardinály je závislé na axiomu výběru. Připouštíme-li axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze zobrazit na nějaký kardinál. +more V případě, že axiom výběru neplatí, však mohou existovat množiny, jejichž mohutnost nelze definovat výše uvedeným způsobem.

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel

# Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly. +more # Množina \omega \,\. všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný nekonečný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další nekonečné kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují: # Ke každému kardinálu existuje větší kardinál. # Třída Cn \,\. všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou On \,\. všech ordinálů - kardinály tedy lze očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik. Prvním z nich je, jak již víme, \omega \,\. +more . Pokusme se najít nějaký další: * ordinální čísla \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\. jsou spočetná - nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál \omega \,\. * ordinální čísla \omega + \omega = \omega. 2, \omega. 3, \omega. 4, \ldots \,\. jsou stále spočetná * ordinální čísla \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\. jsou stále spočetná * ordinální čísla \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\. jsou stále spočetná * dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako \epsilon_0 \,\. ) je stále spočetné.

Jak je vidět, za \omega \,\! následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál - pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů Cn - \omega \,\. - také existuje izomorfismus mezi ní a On \,\. +more .

Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy - alef, a značena \aleph \,\! .

* \aleph_0 = \omega je nejmenší nekonečný kardinál - množina přirozených čísel * \aleph_1 je nejmenší nespočetný kardinál * pro každý ordinál \alpha \,\. existuje kardinál \aleph_{\alpha} , má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega. +more5 + 127} .

Dá se ukázat, že funkce \aleph \,\. je normální funkce (tj. +more rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě On \,\. nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s On \,\. .

Aplikováno konkrétně na funkci \aleph \,\. : existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů \alpha \,\. +more , pro které platí, že \alpha = \aleph_\alpha .

Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání \aleph_1 \,\. v předchozím oddílu, vidíme, že funkce \aleph \,\. +more má opravdu podivné vlastnosti: * na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota - \aleph_1 \,\. je hodně daleko od její první hodnoty \aleph_0 \,\. ) * na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí Id: Id(\alpha) = \alpha \,\. - v takovýchto pevných bodech platí \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\.

Kardinální aritmetika

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny - rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články

Kardinální aritmetika * Ordinální číslo * Ordinální aritmetika * Mohutnost * Singulární kardinál * Regulární kardinál * Kofinál * Hypotéza kontinua * Zobecněná hypotéza kontinua * Hypotéza singulárních kardinálů

Externí odkazy

Kategorie:Teorie množin Kategorie:Nekonečno