Limitní ordinál

Ordinální číslo Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo \alpha \,\! je limitní, pokud

\alpha \neq 0 \land (\forall \beta \isin On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha )

On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina \omega \,\. všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem \omega \,\. +more ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\! je limitní.

Naproti tomu ordinály 0,1,7,13,\omega + 1, \omega. \omega + \omega + 15 \,\. +more nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce 0,6,12,\omega, \omega. \omega + \omega + 14 \,\. Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály: * Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech. * Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.

Související články

Izolovaný ordinál * Ordinální číslo * Ordinální aritmetika * Transfinitní indukce * Transfinitní rekurze * Kardinální číslo * Limitní kardinál * Kofinál

Kategorie:Ordinální čísla