Izolovaný ordinál

Technology

12 hours ago

Author

Izolovaný ordinál je matematický pojem z teorie množin. Označuje ordinální číslo, které má předchůdce nebo je rovno prázdné množině.

Formální definice

Ordinální číslo \alpha \,\! je izolované, pokud \alpha = 0 \vee (\exist \beta \isin On)( \beta \cup \{ \beta \} = \alpha ) , kde On označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

* 1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{0 \} \,\! * 2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \} \,\! * 3 = 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0,1,2 \} \,\! * \ldots \,\!

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označíme-li jako \omega \,\. množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak \omega + 1 = \{ 0,1,2,\ldots,\omega \} = \omega \cup \{ \omega \} \,\. +more má předchůdce \omega \,\.

Podobně má \omega + 2 \,\. předchůdce \omega + 1 \,\. +more, takže se také jedná o izolovaný ordinál. Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě \omega \,\. , ale existují i větší limitní ordinály - například \omega. 2 \,\. , \omega^2 \,\. nebo (\omega^{\omega})^{\omega} \,\.

Important

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.