Implikace

Technology

12 hours ago

Author

Implikace (z lat. implicatio, propletení, zahrnutí) znamená vztah vyplývání nebo zahrnutí. Skutečnost nebo výpověď A implikuje nějaké B, pokud z A nutně vyplývá B, případně pokud je B v A už zahrnuto čili implikováno. Příklad: „Nebude-li pršet, nezmoknem.“

Logika

Logická implikace je logická operace se dvěma proměnnými (binární operace), jejíž hodnota je nepravda, právě když hodnota první proměnné je pravda a druhá je nepravda. Označuje se symbolem \Rightarrow nebo \rightarrow , který naznačuje, že implikace není komutativní, čili obě proměnné nelze zaměnit.

Definice

Pro vstupy (proměnné) A a B vypadá pravdivostní tabulka implikace následovně (0 označuje nepravdivé tvrzení, 1 označuje pravdivé tvrzení):

A	B	A \Rightarrow B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Vlastnosti

( A \Rightarrow B) = ( \neg A \vee B) - náhrada implikace disjunkcí * ( A \Rightarrow B) = ( \neg B \Rightarrow \neg A ) - obměna implikace

Výraz na pravé straně rovnosti v druhé z výše uvedených vlastností se nazývá obměna implikace nebo také obměněná implikace. Tato vlastnost říká, že pokud se mi podaří dokázat, že z negace B vyplývá negace A, pak jsem dokázal pravdivost původní implikace (z A vyplývá B). +more Toho se využívá v technice matematického nepřímého důkazu.

Význam a příklady

Implikace významově odpovídá podmínkové větě v běžném hovoru „Jestliže A, potom B“, „Kdyby A, pak B“. Z toho také vyplývají její vlastnosti tak, jak je zachycuje pravdivostní tabulka.

Příklad první

„Když bude dnes pršet, půjdu do práce.“

Tato věta může být pravdivá, i když nepůjdu do práce - stačí, aby nepršelo, a podle prvního řádku pravdivostní tabulky budu mít stejně pravdu. Věta nevypovídá nic o tom, co se stane, když nebude pršet - v takovém případě (první a druhý řádek pravdivostní tabulky) můžu do práce nejít, nebo jít a nikdo mi nemůže tvrdit, že jsem lhal. +more Určitě existuje spousta lidí, kteří chodí do práce, i když neprší - a nemusí kvůli tomu všichni být lháři.

Příklad druhý

„Jestli to Miloš přeplave, jsem já čínský bůh dobré nálady.“

V tomto příkladě ten, kdo výrok vyslovil, obvykle ani na okamžik nepřemýšlí o tom, že by byl čínským bohem dobré nálady. Nesmyslností druhého výroku se snaží pouze zdůraznit, že podle něj nikdy nebude pravdivá ani první věta - a podle prvního řádku pravdivostní tabulky tedy zůstane celá implikace pravdivá, ať už se Miloš při pokusu dokázat opak utopí, nebo radši rovnou zůstane na břehu. +more Malér nastává ve chvíli, kdy to Miloš opravdu přeplave - pak nezbývá, než sám sebe označit za lháře (podle třetího řádku pravdivostní tabulky), nebo se rychle stát čínským bohem dobré nálady.

Souvislost implikace s matematickými důkazy

Z vlastností implikace vyplývá její užitečnost pro případ, kdy se chci přesvědčit, že nějaký výrok X je pravdivý a mám již nějaké jiné výroky A_1, A_2, \ldots,A_n , o jejichž pravdivosti jsem přesvědčen.

Stačí mi nade vší pochybnost prokázat pravdivost výroku: :(A_1 \land A_2 \land \ldots \land A_n) \Rightarrow X Pokud se mi to podaří, pak podle pravdivostní tabulky musí být pravdivý i výrok X - to je podstata přímého důkazu.