Přímý důkaz

Technology

12 hours ago

Author

Přímý důkaz se v matematice používá k dokázání výroku, který má tvar implikace, kde A je výchozí předpoklad a B je výrok, který má být dokázán resp. odvozen (zápis A\Rightarrow B; věta ve tvaru „Jestliže platí předpoklad A, pak platí také tvrzení B“). Při dokazování pomocí přímého důkazu, je nutné si uvědomit, že pravdivost implikace lze dokázat bez znalosti pravdivosti jednotlivých výroků, které spojuje (na základě pravdivostní tabulky implikace). Důkaz vychází z předpokladu, na jehož základě jsou odvozována dílčí tvrzení tak dlouho, až se dospěje k dokazovanému tvrzení. Všechny kroky implikací jsou vyhodnoceny jako pravdivé, a tedy i odvozovaná tvrzení jsou pravdivá.

Zápis schematicky: (A \Rightarrow A_1) \land (A_1 \Rightarrow A_2) \land \cdots \land (A_{n-1} \Rightarrow A_n) \land (A_n \Rightarrow B)

Přímý důkaz jednoduchého výroku

Příklad1: a > 1\Rightarrow a^2 > 1 (dokažte: jestliže platí, že a je větší než 1 pak platí také, že a na druhou je větší než 1)

Postup po krocích:

* Protože a > 1 , jistě platí také a > 0 a též . * Protože a není rovno nule a je kladné, proměnnou lze vynásobit celou nerovnici. +more (Pokud a = 0, nelze násobit, pokud a při násobení by se obrátila nerovnost). Po vynásobení proměnnou a : a > 1 = a^2 > a. * Je zřejmé , že a > 1 a zároveň platí a^2 > a. Složením výrazů vznikne: a^2 > a > 1 * Odstraněním prostředního výrazu vznikne výraz: a^2 > 1 . To lze zapsat, protože a je větší než jedna a a^2 je větší než a. Pokud je a^2 větší než a, je zároveň větší než jedna, pak je jistě a^2 větší než jedna.

Symbolicky lze zapsat: a > 1\Rightarrow a > 0\Rightarrow a^2 > a > 1 \Rightarrow a^2 > 1

Přímý důkaz implikace

Implikaci lze dokázat podobně jako jednoduchý výrok. Místo úvodního pravdivého tvrzené (výroku) se vezme „levá strana“ implikace. +more Pro dokázání implikace A\Rightarrow B , se vyjde z výroku A a vytvoří se řetězec pravdivých implikací: A\Rightarrow C\Rightarrow D \Rightarrow . \Rightarrow B.

Příklad 2: Dokažte, že pro všechna reálná čísla platí nerovnice\sqrt{\frac{x^2 +y^2 }{2}}\geq\frac

x + y

{2}.

Ekvivalentní úpravy - umocnění obou stran nerovnice: \frac{x^2 +y^2 }{2}\geq \Bigl({\frac{x + y}{2}}\Bigr)^2,

umocnění pravé strany nerovnice, odstranění zlomku a zjednodušení:\frac{x^2 +y^2 }{2}\geq {\frac{x^2 + 2xy +y^2 }{4}},2x^2 +2y^2 \geq x^2 + 2xy +y^2 ,x^2 - 2xy +y^2 \geq 0 ,(x - y)^2 \geq 0.

Protože všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, vyplývá z platného tvrzení (x - y)^2 \geq 0 platnost všech předchozích úprav. Proto musí být nutně platné i původní tvrzení \sqrt{\frac{x^2 +y^2 }{2}}\geq\frac