Vlastní třída

Technology

12 hours ago

Author

Vlastní třída je termín používaný v matematice a fyzice pro označení speciálních tříd objektů. Vlastní třída je tvořena prvky, které mohou být obsaženy pouze ve svém vlastním rozsahu. Tím se liší od běžných tříd, které mohou být obsaženy v různých rozsazích. V matematice se termín vlastní třída často používá ve spojitosti s teorií množin. V fyzice se používá především v kvantové mechanice, kde označuje stavy částic, které jsou jedinečné a nemohou existovat ve stejném stavu s jinými částicemi. Vlastní třída je tak důležitým pojmem pro porozumění základním principům těchto vědních oborů.

Třída je metajazykový konstrukt používaný v moderní teorii množin k usnadnění komunikace. Pod pojmem třída se rozumí „soubor množin definovaných vlastností“, kde pro každou množinu lze rozhodnout, zda do dané třídy patří nebo nikoliv.

Tato „definice“ se (nikoliv náhodou) podobá původní intuitivní Cantorově definici množiny - s tím drobným rozdílem, že prvkem třídy může být výhradně množina. Vlastní třída je taková třída, která není množina (a nemůže tedy být prvkem jiné třídy).

Proč existují vlastní třídy

Důvodem pro zavedení konstruktu třídy a jeho přísné oddělení od pojmu množiny, byla krize teorie množin na přelomu 19. a 20. +more století, kdy úvahy o „příliš velkých“ množinách (například množině všech množin) vedly ke sporům v teorii množin (tyto výsledky jsou samostatně uvedeny v článcích Russellův paradox, Cantorův paradox, Burali-Fortiho paradox).

Svět teorie množin se tak rozpadl na „rozumně se chovající“ a „rozumně veliké“ objekty - množiny, ke kterým si mohu dovolit téměř cokoliv, a na „mamutí“ vlastní třídy, o kterých se sice hezky povídá, ale nejsou skutečnými objekty světa teorie množin a musím s nimi zacházet s největší opatrností.

Z pohledu dnešní axiomatické teorie množin není na výše uvedených paradoxech nic paradoxního - jsou to pouze důkazy o tom, že nějaká třída nemůže být množina, a že je to tedy vlastní třída: * V případě Cantorova paradoxu nemůže být množinou univerzální třída \mathbb{V} \,\. obsahující všechny množiny. +more * V případě Russellova paradoxu nemůže být množinou třída \mathbb{V}_r = \{ x: (x \notin x) \} \,\. obsahující všechny množiny, které neobsahují sebe sama jako prvek. * V případě Burali-Fortiho paradoxu nemůže být množinou třída \mathbb{O}n \,\. všech ordinálních čísel.