Cantorova věta

Technology

12 hours ago

Author

Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující: Pro libovolnou množinu x \,\! má potenční množina \mathbb{P}(x) obsahující všechny podmnožiny množiny x \,\! vyšší mohutnost než x \,\!.

Význam a důsledky

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). +more Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonální metody - pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu \mathbb{P}(x) lze sestrojit prvek množiny \mathbb{P}(x), který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech - potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny \mathbb{P}(x) ke každé množině, jak je tomu například v Zermelově-Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta ke Cantorovu paradoxu: Pokud je \mathbb{V} množina všech množin, pak množina \mathbb{P}(\mathbb{V}) všech jejích podmnožin má větší mohutnost než \mathbb{V}, což je spor.

Důkaz

Nechť X \,\. je libovolná množina a P(X) \,\. +more množina všech podmnožin X \,\. (potenční množina). Tvrzení, že P(X)\,\. má větší mohutnost než X \,\. , je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z X \,\. do P(X) \,\. , které by bylo na (surjektivní). Toto ukážeme sporem:.

Nechť existuje zobrazení f: X \rightarrow P(X), které je na. Tedy pro každý prvek A \in P(X) (A je množina!) existuje nějaké x \in X tak, že f(x) = A \,\!.

Nyní definujme podmnožinu Y \subset X :Y = \{ x \in X: x \notin f(x) \}. Y obsahuje ty prvky X, které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením f. +more Y je zřejmě podmnožina X a tedy musí existovat y \in X tak, že Y = f(y) \,\. Mohou tedy nastat dvě možnosti: # y \in Y, to je ale spor s definicí Y, podle které y \notin f(y), ale f(y) = Y \,\. , # y \notin Y, jenže pak z definice Yplyne y \in f(y) a podle předpokladu Y = f(y) musí platit y \in Y, což je opět spor.

Existence zobrazení f: X \rightarrow P(X), které je na, vede ke sporu a tedy P(X) \,\! má vždy větší mohutnost než X \,\!.