Fundované jádro

Technology

12 hours ago

Author

Fundované jádro (ozn. WF) je matematický pojem z oblasti teorie množin. V axiomatizaci ZF_ (Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti) vymezuje třídu množin, která je vnitřním modelem ZF v ZF_.

Definice

Fundované jádro lze definovat transfinitní rekurzí iterováním operace potence z prázdné množiny takto:

Nejprve definujeme posloupnost množin \,V_{\alpha} pro \alpha \in On (On je třída všech ordinálních čísel). * V_{0}= \emptyset * V_{\alpha +1}=\, P(V_{\alpha}) * V_{\delta} = \bigcup_{\beta pro \delta limitní

Fundované jádro (WF) pak definujeme \mathbb{WF}=\bigcup_{\alpha \in On} V_{\alpha}.

Vlastnosti

Třída WF má mnoho důležitých vlastností.

Uzavřenost WF

Třída WF je uzavřená na všechny definovatelné množinové operace a v důsledku tedy obsahuje i všechny definovatelné množinové konstanty (nulární operace), mezi něž patří speciálně všechny základní číselné obory. Dokonce množiny \mathbb{N, Z, Q, R, C} všech po řadě přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel jsou prvky již množiny \, V_{\omega + \omega} z definice WF.

WF jako model ZF

Třída WF je vnitřním modelem ZF v ZF_ (tj. ve WF platí všechny (do WF relativizované) axiomy ZF, včetně axiomu fundovanosti).

Vztah WF a ∈

Třída WF je největší (vzhledem k inkluzi) tranzitivní třída, na níž je relace \in fundovaná.

Mostowského věta o kolapsu

Mostovského věta o kolapsu říká, že ve WF lze pomocí ∈ simulovat všechny myslitelné binární relační struktury „příjemných“ vlastností. Zní takto:

Pro každou úzkou extenzionální (na A) a fundovanou (na A) relaci R na třídě A existuje jednoznačně určená tranzitivní podtřída T třídy 'WF' taková, že struktury a jsou izomorfní.

Vztah ke třídě konstruovatelných množin

V ZF_ je dokazatelné \mathbb{L} \subseteq \mathbb{WF} \subseteq \mathbb{V}, kde \mathbb{L} je třída všech konstruovatelných množin a \mathbb{V} je univerzální třída.

WF a axiom fundovanosti

Axiom fundovanosti platí ve WF (tj. platí zde jeho relativizace do WF). +more Axiom fundovanosti je dokonce ekvivalentní s tvrzením, že každá množina leží ve WF (tj. (AF) \Leftrightarrow (\mathbb{V}=\mathbb{WF})).